{
 "id": "concept/istikmal-interpolation",
 "class": "concept",
 "slug": "istikmal-interpolation",
 "label": {
  "ar": "قانون الاستكمال عند البيروني",
  "en": "Al-Biruni's law of interpolation (istikmal)",
  "ur": "بیرونی کا قانونِ استکمال"
 },
 "summary": {
  "ar": "طريقة استنبطها البيروني في المقالة الثالثة من القانون المسعودي لاستخراج قيم الجيوب الواقعة بين قيم الجدول، تراعي تغير الفروق نفسها، ويعدها محقق الكتاب صورة مبسطة لقوانين الاستكمال التي نسبت إلى نيوتن وجريجوري بعده بنحو ستمائة سنة {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}.",
  "en": "A method devised by al-Biruni in Book 3 of the Qanun for finding sine values between tabulated entries by taking account of the change in the differences themselves; the editor regards it as a simple form of the interpolation formulas later credited to Newton and Gregory some six centuries afterwards {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}.",
  "ur": "بیرونی کا القانون المسعودی کے تیسرے مقالے میں وضع کردہ طریقہ، جس سے جدول کی قیمتوں کے درمیان جیوب کی قیمتیں فرقوں کی تبدیلی کو ملحوظ رکھ کر نکالی جاتی ہیں؛ محقق اسے ان قوانینِ استکمال کی سادہ صورت سمجھتے ہیں جو چھ صدی بعد نیوٹن اور گریگوری سے منسوب ہوئے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}."
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [
  "mathematics",
  "astronomy-and-timekeeping"
 ],
 "data": {
  "kind": "scientific",
  "term": {
   "ar": "الاستكمال",
   "en": "interpolation"
  },
  "parent_concept": "concept/astronomy",
  "sources": [
   "source/qanun-masudi-jundi-v1"
  ],
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "source": "source/qanun-masudi-jundi-v1 editor's introduction scan pp. 32, 40–42",
   "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker I)",
   "model": "claude-opus-5-5",
   "run": "ocr-harvest-2026-11-04"
  },
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 2
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "الاستكمال طريقة لاستخراج قيمة دالة بين قيمتين معلومتين في الجدول، وقد استنبطها [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|البيروني]] في المقالة الثالثة من [[work/al-qanun-al-masudi|القانون المسعودي]] لتحسين استعمال جداول الجيوب. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "المشكلة",
     "markdown": "يشرح المحقق أن الطريقة الشائعة كانت تفرض أن الزيادة في الجيب تتناسب مع الزيادة في الزاوية داخل الفترة الواحدة؛ والواقع أن فترات الزوايا إذا تساوت لم تتساو فروق الجيوب، فالطريقة الشائعة غير صحيحة. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "حل البيروني",
     "markdown": "سلك البيروني مسلكين: الأول تصغير الفترات بين قيم الزوايا، فحسب جداول الجيوب لكل ربع درجة بدل الدرجة الكاملة، وكان يتمنى أن يحسبها لكل دقيقة لولا طول العمل؛ ويصف المحقق جداوله بأنها صحيحة إلى الرقم السابع أو الثامن العشري. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41} والثاني تحسين طريقة الاستعمال: فلاحظ أن التغير في الزاوية تصحبه تغيرات تدريجية في فروق الجيوب لا في الجيوب نفسها، فجعل نسبة الجزء من الفترة إلى الفترة مساوية لنسبة فرق الجيوب المناسب إلى فرق الفرقين، فخرجت قيمة أدق. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "مكانه",
     "markdown": "يرى المحقق أن البيروني توصل بذلك إلى قوانين الاستكمال في صورتها المبسطة التي نسبت إلى نيوتن وجريجوري بعده بستمائة عام، وأن طريقته في قياس فروق الزوايا كانت حجر الأساس لطريقة التوليد التي استخدماها. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 32} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} ويذكر أيضًا أن البيروني أول من اتخذ الوحدة قيمة لنصف القطر في جداول الجيوب، فصارت الأطوال نسبًا. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 42}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/istikmal-interpolation",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker I)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/qanun-masudi-jundi-v1 scan pp. 32, 40–42"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "Interpolation (istikmal) is a method for finding a function's value between two values given in a table; [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|al-Biruni]] devised his form of it in Book 3 of [[work/al-qanun-al-masudi|al-Qanun al-Mas'udi]] to improve the use of sine tables. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "The problem",
     "markdown": "The editor explains that the common method assumed that within one interval the increase in the sine is proportional to the increase in the angle; in fact equal intervals of angle do not give equal differences of sine, so the common method is inexact. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "Al-Biruni's solution",
     "markdown": "Al-Biruni took two paths. First, he narrowed the intervals: he computed sine tables for every quarter degree instead of every whole degree, wishing he could have done so for every minute but for the length of the work; the editor describes his tables as correct to the seventh or eighth decimal place. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41} Second, he improved the method of use: noting that a change in the angle brings gradual change in the differences of the sines rather than in the sines themselves, he set the ratio of the part of the interval to the interval equal to the ratio of the appropriate difference to the difference of the differences, which yields a more exact value. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "Its place",
     "markdown": "The editor considers that al-Biruni thereby reached the interpolation laws in the simple form later ascribed to Newton and Gregory six hundred years after him, and that his way of measuring differences of angles was the cornerstone of the generating method they used. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 32} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} He adds that al-Biruni was the first to take unity as the radius in sine tables, so that the tabulated lengths became ratios. {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 42}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/istikmal-interpolation",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code (OCR-harvest worker I), claude-opus-5-5"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker I)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/qanun-masudi-jundi-v1 scan pp. 32, 40–42",
     "translator_of": "content/ar/concept/istikmal-interpolation.md"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "استکمال جدول میں دی گئی دو قیمتوں کے درمیان کسی تفاعل کی قیمت نکالنے کا طریقہ ہے؛ [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|بیرونی]] نے [[work/al-qanun-al-masudi|القانون المسعودی]] کے تیسرے مقالے میں جیوب کی جدولوں کے استعمال کو بہتر بنانے کے لیے اس کی اپنی صورت وضع کی۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "مسئلہ",
     "markdown": "محقق بتاتے ہیں کہ عام طریقہ یہ فرض کرتا تھا کہ ایک وقفے میں جیب کا اضافہ زاویے کے اضافے کے متناسب ہے؛ حالانکہ زاویے کے برابر وقفے جیوب کے برابر فرق نہیں دیتے، لہٰذا عام طریقہ غیر دقیق ہے۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "بیرونی کا حل",
     "markdown": "بیرونی نے دو راستے اختیار کیے۔ اول، وقفے چھوٹے کیے: پورے درجے کے بجائے ہر چوتھائی درجے کے لیے جیوب کی جدولیں بنائیں، اور کام کی طوالت نہ ہوتی تو ہر دقیقے کے لیے بنانا چاہتے تھے؛ محقق ان کی جدولوں کو ساتویں یا آٹھویں اعشاریہ تک درست بتاتے ہیں۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41} دوم، استعمال کا طریقہ بہتر کیا: انہوں نے دیکھا کہ زاویے کی تبدیلی سے جیوب کے بجائے جیوب کے فرقوں میں بتدریج تبدیلی آتی ہے، اس لیے وقفے کے جزو اور وقفے کی نسبت کو مناسب فرق اور فرقوں کے فرق کی نسبت کے برابر رکھا، جس سے زیادہ دقیق قیمت حاصل ہوئی۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 41}"
    },
    {
     "heading": "مقام",
     "markdown": "محقق کے خیال میں بیرونی اس طرح استکمال کے ان قوانین کی سادہ صورت تک پہنچ گئے جو ان کے چھ سو سال بعد نیوٹن اور گریگوری سے منسوب ہوئے، اور ان کا زاویوں کے فرق ناپنے کا طریقہ اس طریقۂ تولید کی بنیاد تھا جو انہوں نے استعمال کیا۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 32} {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 40} وہ مزید بتاتے ہیں کہ بیرونی پہلے شخص تھے جنہوں نے جیوب کی جدولوں میں نصف قطر کو اکائی مانا، جس سے جدول کی لمبائیاں نسبتیں بن گئیں۔ {cite:qanun-masudi-jundi-v1 p. 42}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/istikmal-interpolation",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code (OCR-harvest worker I), claude-opus-5-5"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker I)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/qanun-masudi-jundi-v1 scan pp. 32, 40–42",
     "translator_of": "content/ar/concept/istikmal-interpolation.md"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-04",
 "connections": [],
 "related": [
  "concept/zij",
  "person/abu-al-wafa-al-buzjani",
  "person/abu-nasr-mansur-ibn-iraq",
  "person/adelard-of-bath",
  "person/al-badi-al-astarlabi",
  "person/al-battani",
  "person/al-khujandi-abu-mahmud-hamid-ibn-al-khidr",
  "person/al-khwarizmi"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}