{
 "id": "invention/battani-sine-table-methods",
 "class": "invention",
 "slug": "battani-sine-table-methods",
 "label": {
  "ar": "حساب الجيوب في زيج البتاني",
  "en": "Sine-table computation in al-Battani's Zij",
  "ur": "بتانی کی زیج میں جیب کا جدولی حساب"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحسين حسابي موثق: جدول أنصاف أوتار ضعف القوس كل نصف درجة، بنصف قطر60، واستيفاء مباشر وعكسي؛ لا اختراع الجيب أو الاستيفاء كله {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}.",
  "en": "Documented computational refinement: half-chords of doubled arcs at half-degree steps, radius60 and forward/inverse interpolation; not invention of sine or interpolation itself {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}.",
  "ur": "مستند حسابی بہتری: دوہرے قوس کے نصف وتر ہر آدھے درجے پر، نصف قطر60 اور سیدھا و الٹا استیفا؛ جیب یا پورے استیفا کی ایجاد نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [
  "period/abbasid-early"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "value": "Al-Battani's half-chord tables and interpolation",
    "kind": "alternate",
    "lang": "en"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics",
   "astronomy"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "../0929",
    "calendar": "julian",
    "precision": "year",
    "status": "historical",
    "note": "Open latest-lifetime bound only, using TDV's explicit317 AH/929 death pair; not an asserted exact composition or invention year, catalogue epoch or date of a modern edition. Hijri endpoint is recorded here and in trilingual prose: the existing Hijri field accepts a single date, not an open interval, so it is omitted rather than falsely asserting317 AH as the composition year. Existing display retains literal EDTF ../0929.",
    "sources": [
     "source/tdv-battani-muftuoglu",
     "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/raqqa",
   "context": {
    "ar": "سياق عمل البتاني الفلكي في الرقة العباسية؛ لا نعين ورشة أو يوماً لكتابة هذا الباب {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:battani-mactutor biography}.",
    "en": "Al-Battani's astronomical work in Abbasid Raqqa, not an invented workshop or day of writing this chapter {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:battani-mactutor biography}.",
    "ur": "عباسی رقہ میں بتانی کے فلکی کام کا سیاق، باب لکھنے کی کوئی گھڑی کارگاہ یا تاریخ نہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:battani-mactutor biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-battani",
    "role": "improver",
    "place": "place/raqqa",
    "note": "Documented computational exposition within earlier chord/sine traditions. Muslim basis is the actual author's preface and Nallino's argument, not the name. Sunni is the separately labelled museum frame, not personal school testimony.",
    "sources": [
     "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum",
     "source/tdv-battani-muftuoglu",
     "source/battani-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "صياغة عملية لحساب الجيوب والرجوع منها إلى الأقواس ضمن زيج، لا أسبقية لكل عناصر المثلثات.",
    "en": "Practical sine computation and inverse arc lookup within a zij, not priority over all trigonometry.",
    "ur": "زیج میں جیب اور اس سے قوس کا عملی حساب، ساری مثلثیات پر سبقت نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "يحتفظ المؤلف بقطر بطليموس120، ثم يختار أنصاف أوتار ضعف القوس لتجنب مضاعفة الأقواس في العمل، ويشرح الجدول والاستيفاء {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}.",
    "en": "The author keeps Ptolemy's diameter120, selects half-chords of doubled arcs to avoid repeated arc-doubling in use, and explains tabulation/interpolation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}.",
    "ur": "مصنف بطلیموس کا قطر120 رکھ کر دوہرے قوس کے نصف وتر لیتا ہے تاکہ کام میں بار بار قوس دوگنا نہ کرنا پڑے، اور جدول و استیفا سمجھاتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "هندسة الأوتار السابقة واتفاق قطر120",
     "en": "Earlier chord geometry and diameter120 convention",
     "ur": "پہلے وتر کا ہندسہ اور قطر120 کی روایت"
    },
    "note": "Explicit Ptolemaic convention retained in primary chapter3; no assertion that al-Battani invented sine or that Ptolemy invented every predecessor.",
    "sources": [
     "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics",
    "astronomy-instruments"
   ],
   "changed": {
    "ar": "وضع بين يدي القارئ مسلكاً للزاوية غير المدرجة وعكسه، مع وصل الحساب بالبرهان السابق {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}.",
    "en": "Gives a reader procedures for unlisted angles and inverse lookup, connecting computation with preceding geometry {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}.",
    "ur": "غیر درج زاویے اور الٹی تلاش کا طریقہ دیتا اور حساب پہلے ہندسے سے جوڑتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "جزء من زيج مؤثر مترجم، لا إثبات انتقال كل سطر حسابي إلى كل تقنية لاحقة {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}.",
    "en": "Part of an influential translated zij, not proof that every computational line passed to every later technology {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}.",
    "ur": "مؤثر مترجم زیج کا حصہ، ہر حسابی سطر ہر بعد کی تکنیک تک پہنچنے کا ثبوت نہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Bounded, directly inspected computational refinement with construction/use/inverse procedures; no unsupported first-function claim or universal modern genealogy."
  },
  "described_in": [
   "work/al-zij-al-sabi"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "مثال تاريخي لتعليم الجداول والتقريب؛ الرسم مثلث حديث من2007 لا صفحة من الزيج {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}.",
    "en": "Historical example for learning tables/approximation; the image is a modern2007 triangle, not a Zij page {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}.",
    "ur": "جدول و تقریب سیکھنے کی تاریخی مثال؛ تصویر2007 کا جدید مثلث ہے، زیج کا صفحہ نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا نسب مباشر مثبت هنا إلى الآلة الحاسبة أو البرمجيات الحديثة {cite:battani-mactutor reception}.",
    "en": "No direct genealogy to calculators or modern software established here {cite:battani-mactutor reception}.",
    "ur": "یہاں کیلکولیٹر یا جدید سافٹ ویئر تک براہ راست نسب ثابت نہیں {cite:battani-mactutor reception}۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/battani-modern-triangle",
   "diagram": "media/diagram-battani-sine-table-methods"
  },
  "kids": {
   "ar": "قبل الآلة الحاسبة، يساعد جدول في وصل زاوية بطول مناسب لها. يشرح البتاني كيف تقرأه وكيف تقدر قيمة تقع بين سطرين؛ هذه خطوة حسابية محددة، لا اختراع المثلث كله.",
   "en": "Before calculators, a table helped connect an angle with a corresponding length. Al-Battani explains reading it and estimating between rows: a specific computational step, not invention of triangles.",
   "ur": "کیلکولیٹر سے پہلے جدول زاویے اور مناسب لمبائی کو ملاتا تھا۔ بتانی اسے پڑھنا اور دو سطروں کے بیچ اندازہ سکھاتے ہیں: خاص حسابی قدم، مثلث کی ایجاد نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum",
   "source/tdv-battani-muftuoglu",
   "source/battani-mactutor",
   "source/commons-trigonometry-triangle"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b29",
   "source": "Actual visually read Arabic chapter3 pp13–17/scans1139–1135, Latin pp9–11/scans98–100, author's opening scan1146 and Nallino faith argument scan25; selected actual TDV/MacTutor; original2007 PD triangle. No first-sine/interpolation claim, exact writing year or complete-book reading",
   "extensions": [
    {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-depth-20261107",
     "source": "MacTutor right-triangle relation and TDV chapter topics; modern arithmetic examples are explicitly constructed, not copied table entries."
    }
   ]
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "يشرح [[person/al-battani|محمد بن جابر البتاني]] في الباب الثالث من [[work/al-zij-al-sabi|زيجه]] كيف يبني جدولاً لأنصاف أوتار ضعف القوس، وكيف يستعمله في الاتجاهين: من القوس إلى الطول ومن الطول إلى القوس {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}. نسمي هذه المقادير اليوم جيوباً؛ لكنه تحسين حسابي ضمن تقاليد أقدم، لا اختراع الجيب أو كل علم المثلثات {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. يجمع الباب بين الهندسة والجدول والتقريب، بدلاً من تقديم أرقام بلا طريقة لاستعمالها {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "الجدول يصل مقدار قوس بطول محسوب في دائرة معلومة المقياس؛ يختار البتاني قطرها120 ونصف قطرها60 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}. و«نصف وتر ضعف القوس» يعني أن نضاعف زاوية القوس، ثم نأخذ نصف الوتر المقابل لها، لا نصف الزاوية نفسها {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}. بهذا الاختيار يصبح مقدار الجيب موافقاً للقوس الذي يقرأه المستعمل مباشرة، دون مضاعفته كل مرة في الحساب {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 10}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "يصرح المؤلف بأنه يتبع بطليموس في جعل القطر120 تسهيلاً للعمل؛ فالمقياس موروث لا ابتكار خاص ينسبه إلى نفسه {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}. وينطلق من هندسة الأوتار وعلاقات المثلث القائم، ثم يبني أوتار أقواس أخرى بعمليات التنصيف والجمع والطرح {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}. لا يلزم من ذلك أن كل تلك العمليات ظهرت للمرة الأولى في هذا الكتاب؛ موضوع السجل هو ترتيبها العملي واستعمال الجدول في الزيج {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "ارتبط عمل البتاني بالرصد في [[place/raqqa|الرقة]]، وكان زيجه كتاباً ذا سبعة وخمسين باباً، لا ورقة جيوب منفصلة عن العمل الفلكي {cite:tdv-battani-muftuoglu biography and Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor chapter outline}. تسبق مبادئ الحساب أبواباً أخرى تشرح استعمال الجداول؛ لذلك ينبغي قراءة الباب الثالث مدخلاً إلى أداة عمل أوسع {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}.\n\nلا تعطي الصفحات المفحوصة سنة مستقلة لكتابة هذا الباب، فلا نجعل سنة فهرس النجوم أو بدء الرصد يوم اختراع {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17} {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}. تاريخ السجل حد مفتوح ينتهي بوفاته سنة317هـ/929: أي إنه من عمل حياته، وليس إقراراً بأنه ألّفه في929 تحديداً {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "الدور المسجل للبتاني هو «مطور»، لأن النص يبين اختياراً حسابياً وإجراءات استعمال فوق هندسة سابقة {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. وتستند هويته المسلمة هنا إلى مقدمة المؤلف الدينية المقروءة في النص العربي، وإلى حجة نالينو الصريحة المبنية عليها، لا إلى اسمه أو نسبة أسرته {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 6, scan1146; Latin preface XVI, scan25}. يبقى الإطار السني للمتحف معلناً في سياق الرقة العباسية، لا تصريحاً شخصياً بمذهب فقهي؛ وتعرض صفحة الرجل الآراء التاريخية المسماة في هويته دون استنتاج دينه من «الصابئ» وحدها {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin preface XVI, scan25}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "ولا تعني «الزاوية القائمة» أن المثلث مرسوم على كرة: في العلاقة التي يعرضها MacTutor يكون مثلثًا مستويًا، بينما مسائل الكرة في الزيج باب آخر للأرصاد {cite:battani-mactutor trigonometry} {cite:tdv-battani-muftuoglu §§el-Zîc}.\n\nويوضح المثال العددي المصطنع كذلك لماذا يلزم معرفة خطوة الجدول: نسبة6 إلى30 ليست6 إلى60، فالمقابل العددي يتغير إذا أخطأنا فجعلنا الفاصل درجة كاملة بدل نصف درجة. وفي الاتجاه العكسي لا تكفي قيمة20.4دون معرفة سطريها والفرق2بينهما؛ الجزء الزائد لا يصير دقائق بمجرد تغيير اسمه، بل بالقسمة والضرب اللذين يصفهما الباب {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}. هذا تحليل للمثال التعليمي المذكور لا أرقام إضافية من مخطوط.\n\nوبالمقياس نفسه يمكن قراءة نهاية الجدول: عند90درجة تصبح نصف الزاوية المضاعفة مرتبطة بوتر180درجة، أي قطر الدائرة؛ فيكون نصفه60. وعند30درجة نأخذ نصف وتر60درجة، فيكون30، لأن الوتر المذكور يساوي نصف القطر {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–16; Latin pp.9–10}. هذه مساواة هندسية في نقطتين، تختلف عن الاستيفاء الذي يجري بين سطرين؛ يجمع جدول واحد نتائج هندسية وتقديرات وسيطة، ولا يسمح ذلك بتسمية كل خطوة تقريبًا أو كل خطوة برهانًا تامًا بلا تمييز.\n\nولرؤية الفرق بين اسم الدالة وطريقة استعمالها، تعرض ماكتوتر علاقة تنسبها إلى البتاني في المثلث القائم: `b sin(A) = a sin(90 - A)` {cite:battani-mactutor trigonometric formulae}. الحروف والكتابة هنا كما يعرضها المرجع الحديث، لا نسخًا لشكل الرموز في الزيج العربي. تجمع العلاقة زاوية وجيب زاويتها المتممة وأطوال ضلعين، بينما يقدم جدول أنصاف الأوتار الأعداد التي يحتاجها حساب كهذا؛ فالعلاقة النظرية والجدول العددي وظيفتان مختلفتان في أداة العمل {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}.\n\nومثال تعليمي حديث لهذه العلاقة، لا مسألة من المخطوط: إذا أخذنا زاوية45 درجة تساوى جيبها وجيب متممتها، فتؤدي العلاقة إلى تساوي الضلعين اللذين تقارنهما. أما لزاوية30 درجة فتكون متممتها60، ونعرف حسابيًا أن الجيبين ليسا متساويين؛ لا يكفي وصف المثلث بأنه قائم للحكم بتساوي الضلعين. وإذا كتبت العلاقة بالجيوب المقيسة على نصف قطر60، ظهر العامل60 في الطرفين ثم اختصر، فلا يغير استعمال المقياس التاريخي النسبة بين الضلعين {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p.16; Latin p.10}. هذه الحسابات تفسير معاصر للعلاقة المذكورة، وليست ادعاء أن المؤلف اختار هذه الزوايا في المثال نفسه.\n\nويمكن إيضاح الاستيفاء بجدول تعليمي مصطنع معلن، لا أرقام من الزيج: نفرض أن سطرين متجاورين بفارق30 دقيقة لهما قيمتان20 و22. عند زيادة6 دقائق فوق السطر الأدنى تكون نسبة الموضع6 إلى30، فتؤخذ خمس الزيادة العددية2 وتضاف إلى20، أي20.4. ولعكس الخطوة نبدأ بالقيمة20.4، فنسبة زيادتها0.4 إلى فرق السطرين2 تساوي الخمس، وتعيد6 دقائق فوق القوس الأدنى {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}. لا يكفي نجاح الحساب في الاتجاهين لإثبات أن المنحنى الحقيقي خط مستقيم؛ المثال يوضح الإجراء الذي يأخذ زيادة متناسبة بين نقطتين، لا برهانًا بأن التقريب يصبح مساواة تامة {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp.10–11}.\n\nوتضع TDV هذه الأدوات في وظائف محددة من الزيج: تتصل الأبواب33–48 باستعمال الجداول، ويعالج الباب32 تحويل التواريخ بين تقاويم، بينما يخص الباب28 طول الفصول الأربعة على أساس الرصد {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}. فلا يصير كل عدد في كتاب الجداول قيمة جيب، ولا كل اختلاف بين تاريخين فرق زاوية؛ جدول الدالة يخدم حسابًا ضمن عمل يجمع الزمن والرصد والهندسة {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}.\n\nوتنسب الموسوعة إلى مناقشات الأبواب5–26 أفكارًا مبنية على الإسقاط المتعامد ونظرية جيب التمام في المثلثات الكروية {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}. يميز المقال هذه النسبة الموسوعية عن باب أنصاف الأوتار المفحوص مباشرة: المثلث الكروي ومسألة الإسقاط ليسا المثلث القائم المستوي نفسه، واشتراكهما في الدوال لا يثبت أننا قرأنا برهان كل منهما في صفحات الباب الثالث {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}.\n\n\nيبني الباب أولاً أوتاراً معلومة، منها وتر الستين درجة المساوي لنصف القطر، ويستعمل العلاقة بين مربعات أضلاع المثلث القائم والأوتار المتكاملة إلى نصف دائرة {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}. ثم ينتقل إلى أنصاف أوتار ضعف القوس في جدول بخطوة نصف درجة حتى90 درجة {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}. وتتضمن الإنشاءات تقريباً لوتر الدرجة الواحدة؛ فلا يصح وصف كل مرحلة بأنها قيمة تامة بلا تقريب {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}.\n\nبصياغة حديثة شارحة، لا بترميز منقول من المخطوط: `S(theta) = 60 sin(theta)`؛ لذلك تكون قيمة الثلاثين درجة30 وقيمة التسعين60، لا0.5 و1 قبل القسمة على60 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 16; Latin p. 10}. ويستعاد الوتر الكامل بمضاعفة جيب نصف زاويته؛ فلا نضاعف جيب الزاوية نفسها خطأً {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}.\n\nللزاوية الواقعة بين سطرين، يأخذ المستعمل فرق القيمتين، ويضربه في الدقائق الزائدة على السطر الأدنى، ويقسمه على30 دقيقة، ثم يضيف الناتج إلى القيمة الأدنى {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17; Latin pp. 10–11}. هذه طريقة استيفاء خطي؛ مثال تعليمي مشتق منها أن30 درجة و15 دقيقة تقع في منتصف المسافة بين30 و30 درجة و30 دقيقة، فتؤخذ نصف الزيادة الجدولية، دون اختلاق أرقام تاريخية للسطرين {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}.\n\nويشرح العكس أيضاً: نحدد القيمة الجدولية الأدنى، ونحول الجزء الزائد من الطول إلى دقائق بنسبة فرق السطرين، ثم نضيفه إلى القوس الابتدائي {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}. يترجم نالينو ذلك باستخراج القوس، ويبين في حاشيته اختياره لفظي الجيب وجيب التمام اللاتينيين لتقريب ألفاظ أنصاف الأوتار؛ فلا ننسب مصطلح المترجم اللاتيني إلى عبارة عربية حرفية {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 and note}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "انتقل الزيج إلى قراء لاتينيين وقشتاليين، وتعرض السير أثر الكتاب في الفلك اللاحق {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}. هذا انتقال لعمل يضم الحساب والجداول، وليس وحده برهاناً على أن كل خطوة من الباب الثالث وصلت بلا تغيير إلى كل قارئ؛ لذلك لا يرسم السجل مساراً عالمياً مؤرخاً لهذا الإجراء وحده {cite:battani-mactutor reception}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "السابق المباشر في الشرح هو هندسة الأوتار واتفاق قطر120، ومعهما عمليات إنشاء الأقواس وأطوالها؛ ويحفظ السجل اسم بطليموس في هذا الموضع بدلاً من إخفاء الاقتباس المعلن {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15}. والانتقال إلى نصف وتر ضعف القوس يغير مدخل العمل في الجدول، لكنه لا يمحو البناء الهندسي الذي سبقه أو يجعل الدائرة اختراعاً جديداً {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "في الباب الرابع التالي يستعمل المؤلف حساب الجيب والرجوع إلى القوس في مسألة الميل، مع نصف القطر نفسه؛ فهذا تطبيق داخل الكتاب يمكن تعيينه، لا مجرد تشابه حديث {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 12}. ولا نضم هنا «قانون الجيب الكروي» إلى النتيجة بغير بحث مستقل؛ فالجدول وطريقة استعماله ليسا كل مبرهنة تنسب إلى صاحب الزيج {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–12}."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "أثر الطريقة المباشر في عمل الحاسب: يستطيع معالجة زاوية غير مدرجة، ثم حل المسألة المعكوسة دون إعادة إنشاء الشكل الهندسي من البداية {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}. ليس لدينا من الصفحات المقروءة سجل بعدد المستخدمين في الأسواق أو الملاحة، فلا نحول الفائدة الحسابية إلى حكاية يومية غير موثقة عن كل بيت أو سفينة {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تصف ماكتوتر استعمال البتاني للمثلثات بوصفه تقدماً في الحساب الفلكي؛ ويتيح الباب المقروء رؤية بعض العمل الذي يقف وراء هذه العبارة العامة {cite:battani-mactutor trigonometric methods} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. قيمة المثال في جمع إنشاء الأطوال، وتنظيمها، وتعليم استخراج مقدار غير مطبوع في سطر مستقل؛ لا في إعلان أب واحد لكل الحساب الرقمي الحديث {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "السؤال الأضيق القابل للإجابة هو: من شرح هذه المنظومة في هذا الزيج؟ الجواب البتاني، مع تصريح النص بالدين للهندسة الأقدم {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}. أما أول جيب وأول جدول وأول استيفاء في كل الحضارات فأسئلة أخرى لا تحسمها هذه الصفحات، ولا يسجل المتحف أسبقية لمجرد أن اسم العالم ظاهر على الكتاب {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يمكن للقارئ مقارنة مقياس60 بالمقياس الحديث الموحد بعد التطبيع، وفهم أن الاستيفاء تقدير بين قيم لا بديل عن الدالة الأصلية في كل مقدار {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}. الصورة المعروضة مثلث قائم تعليمي حديث نشره TheOtherJesse سنة2007 للملك العام، لا صورة جدول للبتاني؛ وتسميات أضلاعه تتعلق بزاوية معينة {cite:commons-trigonometry-triangle Description and Licensing}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "الشاهد النصي المفحوص هو طبعة نالينو: العربية المطبوعة13–17 تقابل صور المسح1139 نزولاً إلى1135، واللاتينية9–11 تقابل الصور98–100؛ فالجزء العربي معكوس الترتيب في هذا الملف المجلد {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}. هذه قراءة للصفحات المحددة من طبعة منشورة، لا فحص مادي للمخطوط أو ادعاء قراءة جميع جداول الكتاب {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "سيرة «البتاني» أو «Albaten(i)us» تتصل بانتقال كتاب عربي إلى لغات أخرى؛ لكن اختلاف الاسم بين القراء لا يبرر نقل فضل كل طريقة لاحقة إليه {cite:battani-mactutor reception}. وفي عرض المتحف يبقى الفرق واضحاً بين النص القديم، واختيار المترجم ألفاظاً لاتينية، والرسم التعليمي الحديث الذي يرافقه {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 note} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "تخيل جدولاً لا يكتب كل زاوية ممكنة: ماذا تفعل إذا كانت زاويتك بين سطرين؟ يشرح البتاني تقدير حصة من الفرق، ثم يشرح الرجوع من الطول إلى الزاوية؛ فالتعلم هنا في طريقة القراءة، لا حفظ صف طويل من الأرقام فقط {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}. ابدأ بفكرة النصف بين سطرين، وتذكر أن المثال تقريب حسابي لا رسم للسماء بحجمها الحقيقي {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- نالينو، طبعة الزيج وترجمته: الباب الثالث، العربية13–17/صور1139–1135، واللاتينية9–11/صور98–100؛ بداية الباب الرابع اللاتينية12؛ المقدمة العربية6/صورة1146 وحجة الهوية اللاتينيةXVI/صورة25 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}.\n- فَرّوح مفتي أوغلو، «BETTÂNλ، موسوعة الإسلام،6 (1992)،9–10 {cite:tdv-battani-muftuoglu article}.\n- أوكونور وروبرتسون، ماكتوتر، نوفمبر1999؛ لا نعتمد اختلاف تاريخ الترجمة أو الاستدلال الديني من الاسم {cite:battani-mactutor biography}.\n- بيانات TheOtherJesse وترخيص المثلث الأصلي المؤرشف من2007؛ لا الرسم المعدل في2024 {cite:commons-trigonometry-triangle Description, Licensing and file history}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/battani-sine-table-methods",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-depth-20261107",
     "source": "MacTutor right-triangle relation and TDV chapter topics; modern arithmetic examples are explicitly constructed, not copied table entries."
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "In chapter three of [[work/al-zij-al-sabi|his Zij]], [[person/al-battani|Muhammad ibn Jabir al-Battani]] explains constructing a table of half-chords of doubled arcs and using it in both directions: from an arc to a length, and from a length to an arc {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}. We call these quantities sines today; this is a computational refinement within older traditions, not invention of sine or all trigonometry {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. The chapter combines geometry, tabulation and approximation rather than presenting numbers without instructions for using them {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "The table connects an arc with a calculated length in a circle of specified scale: al-Battani chooses diameter120 and radius60 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}. A “half-chord of the doubled arc” means doubling the arc's angle and taking half the corresponding chord, not halving the original angle {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}. This makes the tabulated sine correspond directly to the user's input arc, avoiding repeated doubling during calculation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 10}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "The author explicitly follows Ptolemy in choosing diameter120 for convenient calculation; the scale is inherited, not a private invention {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}. He begins with chord geometry and right-triangle relationships, then constructs chords of further arcs through halving, addition and subtraction {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}. This does not establish that every operation first appeared in this book: the record concerns their practical arrangement and the table's use within the Zij {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "Al-Battani's observing work was associated with [[place/raqqa|Raqqa]], and his Zij comprised fifty-seven chapters, not an isolated sheet of sines {cite:tdv-battani-muftuoglu biography and Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor chapter outline}. Computational foundations precede later chapters on using tables, making chapter three an introduction to a larger working tool {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}.\n\nThe inspected pages supply no independent composition year for this chapter; neither a star-catalogue epoch nor the beginning of observations becomes an invention date {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17} {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}. The record's open-ended date terminates at his death in317 AH/929: a latest-lifetime bound, not a claim that he composed it specifically in929 {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "Al-Battani's recorded role is “improver”: the text documents a computational choice and working procedures on top of earlier geometry {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. His Muslim identity here rests on the author's religious opening, read in Arabic, and Nallino's explicit argument from it—not his name or family affiliation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 6, scan1146; Latin preface XVI, scan25}. The museum's Sunni frame is separately declared for the Abbasid Raqqa setting, not presented as a personal legal-school declaration; his biography retains named historical identity opinions without inferring religion from “al-Sabi” alone {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin preface XVI, scan25}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "The displayed right-triangle relation is planar; spherical problems in the zij are a separate astronomical application, not the same drawn triangle {cite:battani-mactutor trigonometry} {cite:tdv-battani-muftuoglu §§el-Zîc}.\n\nThe invented numerical example also shows why the table interval matters:6/30is not6/60, so using a full degree instead of half a degree changes the numerical increment. In reverse,20.4alone is insufficient without its neighboring rows and their difference2; an excess becomes minutes through the division and multiplication described by the chapter, not merely a new label {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}. These are further explanations of the classroom example, not manuscript values.\n\nThe endpoint illustrates the geometric scale: at90degrees, half the chord of the doubled180-degree arc is half the diameter, or60. At30degrees, half the chord of60degrees is30, because that chord equals the radius {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–16; Latin pp.9–10}. Exact geometric values at these points differ from interpolation between neighboring rows; a table can combine geometric results with intermediate estimates.\n\nMacTutor gives a right-triangle relation attributed to al-Battani: `b sin(A) = a sin(90 - A)` {cite:battani-mactutor trigonometric formulae}. Its notation is the modern reference's presentation, not copied Arabic manuscript symbols. It combines a sine, the sine of a complementary angle and two side lengths, while the half-chord table supplies numbers for such computations: theoretical relation and numerical table perform different functions {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}.\n\nA modern demonstration, not a manuscript problem, takes45degrees: its sine equals its complementary sine, so the compared sides are equal. For30degrees, the complement is60and those sines differ; being right-angled alone does not make the two sides equal. Writing both sides with sines scaled to radius60introduces the same factor on each side, which cancels, leaving the side ratio unchanged {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p.16; Latin p.10}. These calculations explain the reported relation without claiming the author used these particular examples.\n\nInterpolation can likewise be shown with an explicitly invented classroom table, not Zij values: suppose neighboring rows separated by30minutes have values20and22. A position6minutes above the lower row is one fifth of the interval, so one fifth of the numerical increase2is added to20, giving20.4. In reverse, the excess0.4divided by the row difference2returns one fifth of the angular interval, or6minutes {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}. Success in reversing the arithmetic does not prove the actual curve straight: it explains the proportional step between points, not exactness of the approximation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp.10–11}.\n\nTDV identifies other functions within the Zij: chapters33–48concern table use, chapter32calendar conversion, and chapter28the lengths of the four seasons based on observation {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}. Not every tabular value is therefore a sine, nor every difference between dates an angle: the function table is part of work joining timekeeping, observation and geometry {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}.\n\nThe encyclopedia also attributes ideas based on orthographic projection and the spherical cosine theorem to discussions in chapters5–26 {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}. This secondary account is distinguished from the directly inspected half-chord chapter: a spherical triangle and projection are not the same object as a plane right triangle, and shared functions do not imply that every proof was read in chapter3 {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}.\n\n\nThe chapter first constructs known chords, including the60-degree chord equal to the radius, using squared-side relationships in right triangles and chords whose arcs complete a semicircle {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}. It then turns to half-chords of doubled arcs, tabulated every half-degree through90 degrees {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}. The construction includes an approximation for the one-degree chord, so not every stage should be described as exact without approximation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}.\n\nIn modern explanatory notation—not copied manuscript symbols—`S(theta) = 60 sin(theta)`; the entries for30 and90 degrees are therefore30 and60, not0.5 and1 until divided by60 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 16; Latin p. 10}. A full chord is recovered by doubling the sine of half its angle, not by doubling the sine of that same full angle {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}.\n\nFor an angle between rows, take the difference between adjacent table values, multiply by the extra arcminutes above the lower row, divide by30 arcminutes, and add the result to the lower value {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17; Latin pp. 10–11}. This is linear interpolation: a teaching example derived from it places30 degrees15 minutes halfway between30 degrees and30 degrees30 minutes, taking half the tabular increase without inventing historical digits for the two entries {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}.\n\nThe reverse procedure locates the lower table value, converts the excess length into arcminutes proportionally to the adjacent-row difference, and adds them to the starting arc {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}. Nallino calls this “arcuation”; his footnote explains choosing Latin sine/cosine terminology to render the half-chord expressions. The translator's Latin words should not be mistaken for literal Arabic phrasing {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 and note}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "The Zij reached Latin and Castilian readers, and the biographies discuss the book's reception in later astronomy {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}. Transmission of a work containing computation and tables does not alone prove that each chapter-three step reached every reader unchanged; this record therefore draws no precisely dated worldwide itinerary for the procedure alone {cite:battani-mactutor reception}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The explanation's immediate foundation is chord geometry, the diameter120 convention, and procedures constructing arcs and their corresponding lengths; Ptolemy's name is retained where the author explicitly acknowledges his convention {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15}. Moving to half-chords of doubled arcs changes the input used in table work, but does not erase the preceding geometry or make the circle a new invention {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "In the following chapter four, sine and inverse-arc computation serve a declination problem at the same radius: an identifiable application inside the work, rather than a merely modern resemblance {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 12}. The spherical sine law is not silently bundled into this result; a table and its use are not every theorem attributed to the Zij's author and require their own investigation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–12}."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The immediate benefit concerns the calculator's work: treating an unlisted angle and solving the reverse problem without reconstructing the geometry from scratch {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}. The inspected pages provide no census of market or navigation users, so a computational benefit does not become an undocumented story about every household or ship {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "MacTutor describes al-Battani's trigonometric methods as an advance in astronomical calculation; the inspected chapter exposes some of the work behind that broad statement {cite:battani-mactutor trigonometric methods} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}. Its value lies in connecting length construction, organized values and instructions for finding a quantity without its own printed row—not declaring one father of all modern digital computation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "The narrower answerable question is who explains this system in this Zij: al-Battani, with an explicit debt to older geometry {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}. The first sine, first table and first interpolation across every civilization are different questions, not settled by these pages or by a scholar's name on a book {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "Readers can compare the historical radius60 scale with modern unit normalization and understand interpolation as an estimate between entries, not an exact replacement for the underlying function at every input {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}. The image is a modern right-triangle teaching diagram released by TheOtherJesse to the public domain in2007, not al-Battani's table; its side names are relative to a particular angle {cite:commons-trigonometry-triangle Description and Licensing}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "The inspected textual witness is Nallino's edition: Arabic printed13–17 corresponds to scans1139 down to1135, and Latin printed9–11 to scans98–100; the Arabic part is reverse-ordered in this bound file {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}. This is reading specified pages of a published edition, not physically examining the manuscript or claiming to have read all the book's tables {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "The biography of “al-Battani” or “Albaten(i)us” belongs to the transmission of an Arabic work into other languages, but variant names among readers do not justify giving him credit for every later method {cite:battani-mactutor reception}. The museum distinguishes the old text, a translator's Latin terminology, and a modern teaching image accompanying it {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 note} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Imagine a table that cannot print every possible angle: what happens when yours falls between two rows? Al-Battani explains estimating a share of the difference, then reversing from length to angle; the lesson is a way of reading, not only memorizing a long string of numbers {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}. Start with the halfway idea, remembering that it is an approximation, not a life-size drawing of the sky {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- Nallino's edition/translation: chapter three Arabic13–17/scans1139–1135, Latin9–11/scans98–100; beginning of chapter four Latin12; Arabic opening6/scan1146 and Latin identity argumentXVI/scan25 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}.\n- Ferruh Müftüoğlu, “BETTÂNÎ,” TDV,6 (1992),9–10 {cite:tdv-battani-muftuoglu article}.\n- O'Connor and Robertson, MacTutor, November1999; conflicting translation dates and name-only religious inference not adopted {cite:battani-mactutor biography}.\n- TheOtherJesse's original archived2007 triangle and author-release metadata, not the revised2024 rendering {cite:commons-trigonometry-triangle Description, Licensing and file history}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/battani-sine-table-methods",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-depth-20261107",
     "source": "Translation of the Arabic additions, preserving source qualifications. MacTutor right-triangle relation and TDV chapter topics; modern arithmetic examples are explicitly constructed, not copied table entries."
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "[[person/al-battani|محمد بن جابر بتانی]] اپنی [[work/al-zij-al-sabi|زیج]] کے تیسرے باب میں دوہرے قوس کے نصف وتر کا جدول بنانا اور اسے دونوں رخوں سے استعمال کرنا بتاتے ہیں: قوس سے لمبائی، اور لمبائی سے قوس {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}۔ آج ان مقداروں کو جیب کہتے ہیں؛ یہ پہلے سے جاری روایت میں حسابی بہتری ہے، جیب یا پوری مثلثیات کی ایجاد نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}۔ باب ہندسہ، جدول اور تقریب کو ملاتا ہے، صرف ایسے اعداد نہیں دیتا جن کے استعمال کی ہدایت نہ ہو {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "جدول ایک معلوم پیمانے کے دائرے میں قوس اور حساب شدہ لمبائی کا تعلق دیتا ہے؛ بتانی قطر120 اور نصف قطر60 لیتے ہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}۔ «دوہرے قوس کا نصف وتر» کا مطلب زاویہ دوگنا کر کے متعلقہ وتر کا آدھا لینا ہے، اصل زاویے کو آدھا کرنا نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}۔ اس طرح جدول کا جیب صارف کے دیے ہوئے قوس سے براہ راست ملتا ہے، حساب میں ہر بار قوس دوگنا نہیں کرنا پڑتا {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 10}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "مصنف صاف کہتے ہیں کہ سہولتِ حساب کے لیے قطر120 رکھنے میں بطلیموس کی پیروی ہے؛ پیمانہ ورثے میں ملا ہے، ان کی ذاتی ایجاد نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 13; Latin p. 9}۔ وہ اوتار کے ہندسے اور قائمہ مثلث کے تعلقات سے شروع کر کے تنصیف، جمع اور تفریق سے مزید قوسوں کے وتر نکالتے ہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}۔ اس سے ہر عمل کی اولین صورت اسی کتاب میں ہونا ثابت نہیں؛ یہاں موضوع ان کا عملی انتظام اور زیج میں جدول کا استعمال ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "بتانی کا رصدی کام [[place/raqqa|رقہ]] سے وابستہ تھا؛ ان کی زیج ستاون ابواب کی کتاب تھی، جیب کا الگ تھلگ ورق نہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu biography and Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor chapter outline}۔ حسابی بنیادوں کے بعد جدول برتنے کے مزید ابواب آتے ہیں، اس لیے تیسرا باب ایک بڑے عملی وسیلے کا تعارف ہے {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}۔\n\nدیکھے گئے صفحات اس باب کی الگ سنِ تصنیف نہیں بتاتے؛ ستاروں کی فہرست کا عہد یا آغازِ رصد ایجاد کا دن نہیں بنتا {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17} {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}۔ اندراج کی کھلی حد ان کی وفات317ھ/929 پر ختم ہوتی ہے: یعنی ان کی زندگی کا کام، یہ دعویٰ نہیں کہ باب خاص929 ہی میں لکھا گیا {cite:tdv-battani-muftuoglu biography}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "بتانی کا درج کردار «بہتر بنانے والے» کا ہے: متن پہلے ہندسے پر حسابی انتخاب اور عملی ہدایات قائم کرتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}۔ یہاں ان کی مسلم شناخت کی بنیاد عربی میں دیکھا گیا مصنف کا مذہبی آغاز اور اسی پر نالینو کا واضح استدلال ہے، نام یا خاندانی نسبت نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 6, scan1146; Latin preface XVI, scan25}۔ عباسی رقہ کے سیاق میں عجائب گھر کا سنی فریم الگ واضح ہے، اسے کسی ذاتی فقہی مسلک کا اقرار نہیں کہتے؛ ان کی سوانح نام زد تاریخی آرا محفوظ رکھتی ہے، صرف «الصابی» سے مذہب اخذ نہیں کرتی {cite:tdv-battani-muftuoglu biography} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin preface XVI, scan25}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "پیش کردہ قائمہ مثلث کی نسبت مستوی ہے؛ زیج کے کروی مسائل فلکی اطلاق ہیں، اسی تصویر کا مثلث نہیں {cite:battani-mactutor trigonometry} {cite:tdv-battani-muftuoglu §§el-Zîc}۔\n\nفرضی عددی مثال جدول کے وقفے کی اہمیت بھی دکھاتی ہے:6/30اور6/60ایک نہیں، نصف درجے کے بجائے پورا درجہ لینے سے عددی اضافہ بدلتا ہے۔ الٹا20.4اکیلا کافی نہیں جب تک پاس کی سطریں اور ان کا فرق2معلوم نہ ہو؛ زیادتی باب کی تقسیم اور ضرب سے منٹ بنتی ہے، صرف نام بدلنے سے نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}۔ یہ تعلیمی مثال کی مزید وضاحت ہے، مخطوط کے عدد نہیں۔\n\nجدول کا آخری سرا پیمانہ دکھاتا ہے:90درجے پر دوگنے180درجے کے وتر کا نصف، قطر کا نصف یعنی60ہے۔30درجے پر60درجے کے وتر کا نصف30ہے، کیونکہ وتر نصف قطر کے برابر ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–16; Latin pp.9–10}۔ ان نقطوں کی ہندسی مساوات پاس کی سطروں کے استیفا سے مختلف ہے؛ جدول ہندسی نتیجے اور درمیانی تخمینے ساتھ رکھ سکتا ہے۔\n\nمیک ٹیوٹر قائم الزاویہ مثلث کی ایک نسبت البتانی سے منسوب کرتا ہے: `b sin(A) = a sin(90 - A)` {cite:battani-mactutor trigonometric formulae}۔ علامتیں جدید حوالے کی ہیں، عربی مخطوط کی نقل نہیں۔ زاویے کا جیب، متمم زاویے کا جیب اور دو ضلعوں کی لمبائی ملتی ہے، جبکہ نصف وتر کا جدول حساب کے عدد دیتا ہے؛ نظری نسبت اور عددی جدول الگ کام کرتے ہیں {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}۔\n\nجدید وضاحتی مثال، مخطوط کی مسئلہ نہیں:45درجے کا جیب متمم کے جیب کے برابر ہے، تو مقابل ضلع برابر ہوتے ہیں۔30درجے کا متمم60ہے اور دونوں جیب مختلف؛ صرف قائم زاویہ ہونا دو ضلعوں کو برابر نہیں کرتا۔ نصف قطر60کے پیمانے پر لکھنے سے دونوں طرف60کا ایک ہی عامل آتا اور کٹ جاتا ہے، ضلعوں کی نسبت نہیں بدلتی {cite:battani-mactutor trigonometric formulae} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p.16; Latin p.10}۔ یہ نسبت کا موجودہ حساب ہے، مصنف کے یہی مثالیں لینے کا دعویٰ نہیں۔\n\nاستیفا بھی واضح فرضی تعلیمی جدول سے سمجھ سکتے ہیں، زیج کے عدد نہیں:30منٹ کے فاصلے کی دو سطروں کی قیمتیں20اور22فرض کریں۔ زیریں سطر سے6منٹ اوپر وقفے کا پانچواں حصہ ہے، لہٰذا2کے اضافے کا پانچواں حصہ20میں ملائیں تو20.4ہوتا ہے۔ الٹا،0.4کا اضافہ سطروں کے فرق2سے تقسیم ہو کر وقفے کا پانچواں حصہ، یعنی6منٹ، دیتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}۔ حساب کا واپس چلنا اصل منحنی کے سیدھا ہونے کا ثبوت نہیں؛ یہ دو نقطوں کے درمیان متناسب قدم سمجھاتا ہے، تقریب کی کامل صحت نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp.10–11}۔\n\nٹی ڈی وی زیج کے دوسرے کام متعین کرتی ہے: ابواب33–48جدولوں کے استعمال، باب32تقاویم کی تبدیلی، اور باب28مشاہدے سے چار موسموں کی مدت کے ہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}۔ ہر جدولی عدد جیب اور ہر تاریخی فرق زاویہ نہیں؛ دالہ کا جدول وقت، رصد اور ہندسہ ملانے والے کام کا حصہ ہے {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}۔\n\nانسائیکلوپیڈیا ابواب5–26میں عمودی اسقاط کے اصولوں اور کروی مثلثیات کے جیبِ تمام قضیے پر مبنی خیالات بھی منسوب کرتی ہے {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij}۔ اس ثانوی بیان کو براہ راست پڑھے نصف وتر کے باب سے الگ رکھتے ہیں: کروی مثلث اور اسقاط، مستوی قائم مثلث کی عین شے نہیں؛ مشترک دوال سے ہر برہان باب3میں پڑھنا ثابت نہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.13–17}۔\n\n\nباب پہلے معلوم وتر بناتا ہے، مثلاً60 درجے کا وتر جو نصف قطر کے برابر ہے؛ قائمہ مثلث کے اضلاع کے مربعوں اور نصف دائرہ پورا کرنے والے قوسوں کے اوتار کا تعلق استعمال ہوتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15; Latin pp. 9–10}۔ پھر دوہرے قوس کے نصف وتر آتے ہیں، جن کا جدول ہر آدھے درجے پر90 درجے تک ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 15–16; Latin p. 10}۔ ایک درجے کے وتر کے لیے تقریب بھی تعمیر کا حصہ ہے؛ ہر مرحلے کو تقریب سے پاک مکمل درست قدر کہنا مناسب نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}۔\n\nجدید توضیحی علامتوں میں، مخطوطے کی نقل کے طور پر نہیں، `S(theta) = 60 sin(theta)` ہے؛ پس30 اور90 درجوں کی قدریں30 اور60 ہیں،60 سے تقسیم کرنے سے پہلے0.5 اور1 نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 16; Latin p. 10}۔ پورا وتر اس کے آدھے زاویے کے جیب کو دوگنا کر کے ملتا ہے، پورے زاویے کے جیب کو دوگنا کرنے سے نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}۔\n\nدو سطروں کے بیچ زاویے کے لیے متصل قدروں کا فرق لیں، نچلی سطر سے زائد زاویائی دقیقوں سے ضرب دیں،30 دقیقوں سے تقسیم کریں اور نچلی قدر میں جمع کریں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17; Latin pp. 10–11}۔ یہ خطی استیفا ہے: اس سے اخذ کردہ تدریسی مثال میں30 درجے15 دقیقے،30 درجے اور30 درجے30 دقیقے کے عین درمیان ہیں، لہٰذا جدولی اضافے کا آدھا لیا جائے، دونوں سطروں کے تاریخی اعداد گھڑے بغیر {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}۔\n\nالٹا طریقہ بھی موجود ہے: نچلی جدولی قدر تلاش کریں، زائد لمبائی کو متصل سطروں کے فرق کی نسبت سے دقیقوں میں بدلیں، پھر ابتدائی قوس میں جمع کریں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic p. 17; Latin p. 11}۔ نالینو اسے قوس نکالنا کہتے ہیں؛ ان کا حاشیہ واضح کرتا ہے کہ نصف وتر کی عبارتوں کے لیے لاطینی جیب اور جیبِ تمام کی اصطلاحیں انہوں نے چنی ہیں، اس لیے مترجم کے لاطینی لفظ کو اصل عربی عبارت نہ سمجھا جائے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 and note}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "زیج لاطینی اور قشتالی قارئین تک پہنچی، اور سوانح بعد کے علمِ ہیئت میں کتاب کے اثر کا ذکر کرتی ہیں {cite:tdv-battani-muftuoglu Kitab al-Zij} {cite:battani-mactutor reception}۔ حساب اور جدولوں والی کتاب کا انتقال بذاتِ خود یہ ثابت نہیں کرتا کہ تیسرے باب کا ہر قدم ہر قاری تک بغیر تبدیلی پہنچا؛ اس لیے یہاں اسی عمل کی پوری دنیا میں تاریخ وار راہ نہیں کھینچی گئی {cite:battani-mactutor reception}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "شرح کی فوری بنیاد اوتار کا ہندسہ، قطر120 کی روایت اور قوس و لمبائی کی تعمیر کے عمل ہیں؛ جہاں مصنف خود بطلیموس کا حوالہ دیتے ہیں وہاں ان کا نام محفوظ ہے، اسے چھپایا نہیں گیا {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–15}۔ دوہرے قوس کے نصف وتر کی طرف جانا جدول کا حسابی مدخل بدلتا ہے، پہلے ہندسے کو مٹاتا یا دائرے کو نئی ایجاد نہیں بناتا {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–10}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "اگلے چوتھے باب میں جیب اور اس سے قوس نکالنے کا عمل اسی نصف قطر کے ساتھ میل کے مسئلے میں آتا ہے؛ یہ کتاب کے اندر پہچانا جا سکنے والا استعمال ہے، محض جدید مشابہت نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 12}۔ کروی قانونِ جیب کو اس نتیجے میں خاموشی سے شامل نہیں کیا گیا؛ جدول اور اس کا استعمال مصنف سے منسوب ہر قضیے کے برابر نہیں، اس کے لیے الگ تحقیق درکار ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–12}۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "فوری فائدہ حساب کرنے والے کے کام میں ہے: غیر درج زاویہ اور الٹا سوال، ہر بار ہندسی شکل نئے سرے سے بنائے بغیر حل کیے جا سکتے ہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}۔ پڑھے ہوئے صفحات بازار یا جہازرانی کے استعمال کنندگان کی گنتی نہیں دیتے؛ حسابی سہولت کو ہر گھر اور ہر جہاز کی بے سند داستان نہیں بنایا گیا {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "میک ٹیوٹر بتانی کے مثلثی طریقوں کو فلکی حساب میں پیش رفت کہتی ہے؛ دیکھا ہوا باب اس عمومی بیان کے پیچھے کچھ عملی کام دکھاتا ہے {cite:battani-mactutor trigonometric methods} {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}۔ مثال کی قدر لمبائیاں بنانے، منظم کرنے اور الگ سطر کے بغیر مقدار نکالنا سکھانے کے اجتماع میں ہے، تمام جدید رقمی حساب کے ایک ہی بانی کا اعلان کرنے میں نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "قابلِ جواب محدود سوال ہے: اس زیج میں یہ طریقہ کس نے سمجھایا؟ بتانی نے، پہلے ہندسے سے استفادے کا واضح اقرار رکھتے ہوئے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17}۔ تمام تہذیبوں میں پہلا جیب، پہلا جدول اور پہلا استیفا الگ سوال ہیں؛ یہ صفحات یا کتاب پر عالم کا نام ان سب کا فیصلہ نہیں کرتے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 9–11}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "قاری تاریخی نصف قطر60 کا، اکائی پر معمول بندی کے بعد، جدید پیمانے سے مقابلہ کر سکتا ہے؛ استیفا درمیانی قدروں کا تخمینہ ہے، ہر مدخل پر اصل تفاعل کی بالکل صحیح جگہ لینے والا عمل نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}۔ دکھائی گئی تصویر TheOtherJesse کا2007 میں ملکِ عام کیا ہوا جدید تدریسی قائمہ مثلث ہے، بتانی کا جدول نہیں؛ اس کے ضلعوں کے نام ایک مخصوص زاویے کے اعتبار سے ہیں {cite:commons-trigonometry-triangle Description and Licensing}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "دیکھا گیا متنی شاہد نالینو کا ایڈیشن ہے: عربی مطبوعہ13–17، مسح1139 سے الٹا1135 تک، اور لاطینی مطبوعہ9–11، مسح98–100 ہیں؛ بندھی ہوئی فائل میں عربی حصہ الٹی ترتیب سے ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 13–17; Latin pp. 9–11}۔ یہ شائع شدہ ایڈیشن کے متعین صفحات کی قرأت ہے، مخطوطے کا مادی معائنہ یا تمام جدول پڑھ لینے کا دعویٰ نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "«البتانی» یا «Albaten(i)us» کی سوانح عربی کتاب کے دوسری زبانوں میں انتقال سے جڑی ہے؛ نام کی مختلف صورتیں ہر بعد کے طریقے کا سہرا انہیں دینے کا جواز نہیں {cite:battani-mactutor reception}۔ عجائب گھر قدیم متن، مترجم کی منتخب لاطینی اصطلاح اور ساتھ دکھائے گئے جدید تدریسی خاکے میں فرق قائم رکھتا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin p. 11 note} {cite:commons-trigonometry-triangle Description}۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "سوچیے جدول ہر ممکن زاویہ نہیں چھاپ سکتا: آپ کا زاویہ دو سطروں کے بیچ ہو تو کیا کریں؟ بتانی فرق کا ایک حصہ لے کر تخمینہ اور پھر لمبائی سے زاویے کی الٹی تلاش سمجھاتے ہیں؛ سبق صرف لمبی عددی فہرست یاد کرنا نہیں، اسے پڑھنے کا طریقہ سیکھنا ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp. 16–17}۔ دو سطروں کے نصف فاصلے سے شروع کیجیے؛ یاد رہے یہ حسابی تقریب ہے، اصل جسامت میں آسمان کا نقشہ نہیں {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Latin pp. 10–11}۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- نالینو کا ایڈیشن و ترجمہ: باب3، عربی13–17/مسح1139–1135، لاطینی9–11/مسح98–100؛ آغازِ باب4 لاطینی12؛ عربی آغاز6/مسح1146 اور لاطینی شناختی دلیلXVI/مسح25 {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum edition}۔\n- فروح مفتی اوغلو، «BETTÂNλ، ٹی ڈی وی،6 (1992)،9–10 {cite:tdv-battani-muftuoglu article}۔\n- اوکونر و رابرٹسن، میک ٹیوٹر، نومبر1999؛ ترجمے کی مختلف تاریخیں یا صرف نام پر مذہبی استدلال اختیار نہیں کیا {cite:battani-mactutor biography}۔\n- TheOtherJesse کے اصل محفوظ2007 مثلث کے کوائف و اجازت،2024 کی بدلی ہوئی تصویر نہیں {cite:commons-trigonometry-triangle Description, Licensing and file history}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/battani-sine-table-methods",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-depth-20261107",
     "source": "Translation of the Arabic additions, preserving source qualifications. MacTutor right-triangle relation and TDV chapter topics; modern arithmetic examples are explicitly constructed, not copied table entries."
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-09",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-battani",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Bounded chapter3 half-chord/sine-table computation and forward/inverse interpolation; no first-sine or spherical-sine-law priority.",
   "sources": [
    "source/battani-mactutor",
    "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum",
    "source/tdv-battani-muftuoglu"
   ]
  },
  {
   "to": "work/al-zij-al-sabi",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum",
    "source/tdv-battani-muftuoglu",
    "source/battani-mactutor",
    "source/commons-trigonometry-triangle"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "work/de-motu-stellarum-plato-tiburtinus",
  "work/kitab-marifat-matali-al-buruj-battani",
  "work/risalat-tahqiq-aqdar-al-ittisalat",
  "person/al-battani",
  "work/al-zij-al-sabi",
  "concept/zij",
  "place/antioch",
  "place/baghdad"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}