{
 "id": "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
 "class": "invention",
 "slug": "karaji-binomial-coefficient-recurrence",
 "label": {
  "ar": "توليد معاملات القوى الثنائية عند الكرجي",
  "en": "Al-Karaji's binomial-coefficient recurrence",
  "ur": "الکرجی کا دو رکنی قوتوں کے ضریب کا تکراری قاعدہ"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحسين جبري من أوائل القرن الحادي عشر: بناء معاملات القوى الثنائية بجمع المتجاورين، ينقله السموأل عن عمل مفقود للكرجي؛ ليس أول مثلث عالمي ولا مبرهنة للأسس الكسرية {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
  "en": "Early-eleventh-century algebraic improvement: generating coefficients of finite binomial powers by adjacent addition, transmitted by al-Samawal from lost work of al-Karaji; not the world's first triangle or a fractional-power theorem {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
  "ur": "گیارہویں صدی کے ابتدائی جبری کام میں متجاور اعداد کے جمع سے محدود دو رکنی قوتوں کے ضریب بنانا؛ سموأل کرجی کے گم شدہ کام کے ناقل ہیں، دنیا کا پہلا مثلث یا کسری قوتوں کا قضیہ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [
  "period/buyid-seljuk-fatimid-era"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "value": "Al-Karaji's coefficient triangle",
    "kind": "alternate",
    "lang": "en"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "algorithm",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "middle-period",
   "first_attested": {
    "edtf": "10XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "derived": true,
    "note": "Century-level placement of Karaji's attributed work, not the date of the surviving witness. DSB reports after1007 through Anbouba1964 p12, not independently read; no exact composition year, Hijri conversion or autograph date asserted.",
    "sources": [
     "source/samawal-dsb",
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/baghdad",
   "context": {
    "ar": "سياق أعمال الكرجي الرياضية ببغداد؛ لا يثبت مكان كتابة العمل المفقود بعينه أو تاريخ نسخه {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
    "en": "Context of Karaji's mathematical work in Baghdad; not a verified writing location or copy date for the particular lost work {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
    "ur": "کرجی کے بغداد والے ریاضیاتی کام کا سیاق؛ مخصوص گم شدہ کام کی تحریر کا مقام یا نسخے کی تاریخ ثابت نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-karaji",
    "role": "improver",
    "place": "place/baghdad",
    "note": "Adjacent-addition coefficient generation linked to finite binomial expansion, attributed by the surviving al-Samawal witness; named Muslim evidence in HESS762, Sunni museum default separately labelled, not a personal school claim.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor",
     "source/samawal-dsb",
     "source/karaji-ataie-simmons-2020"
    ]
   },
   {
    "person": "person/al-samawal-al-maghribi",
    "role": "transmitter",
    "note": "Al-Bahir Book2 preserves and attributes the lost coefficient computation to Karaji. Youthful composition precedes his1163 conversion in the biography; later revisions possible. Not counted as an additional qualifying Sunni inventor.",
    "sources": [
     "source/samawal-mactutor",
     "source/samawal-dsb"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "قاعدة قابلة للاستمرار لتوليد معاملات نشر مجموع جزأين، داخل تقليد الجبر السابق، لا أولوية عالمية لكل المثلثات الحسابية.",
    "en": "A repeatable coefficient-generation rule for powers of a sum of two parts within earlier algebra, not world priority for all arithmetic triangles.",
    "ur": "پہلے الجبرا میں دو حصوں کے مجموعے کی قوتوں کے ضریب بنانے کا قابل تکرار قاعدہ، تمام حسابی مثلثوں کی عالمی اولیت نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "تورد ماكتوتر ترجمة منقولة للشاهد السموألي وبناء1،2،1 ثم1،3،3،1؛ وتؤكد DSB فقدان حساب الكرجي الأصلي {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
    "en": "MacTutor reproduces a mediated translation of al-Samawal's witness, including1,2,1 and1,3,3,1; DSB confirms the loss of Karaji's original computation {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
    "ur": "میک ٹیوٹر سموأل کے شاہد کا واسطے سے ترجمہ اور1،2،1 پھر1،3،3،1 دیتا ہے؛ ڈی ایس بی کرجی کے اصل حساب کے گم ہونے کی تصدیق کرتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔"
   },
   "perspectives": [
    {
     "tradition": "sunni",
     "id": "sunni-museum-frame",
     "standing": "main",
     "summary": {
      "ar": "إطار المتحف السني، لا قول فقهي منسوب: مسلم بهوية صريحة، وتحسين محدد يحفظ السابقين؛ لا يثبت المصدر مذهبه الشخصي {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.",
      "en": "Sunni museum frame, not an attributed juristic opinion: explicitly documented Muslim identity and a bounded improvement preserving predecessors; the source does not attest his personal school {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.",
      "ur": "متحف کا سنی فریم، منسوب فقہی رائے نہیں: واضح مسلم شناخت اور سابقین کے ساتھ محدود بہتری؛ ماخذ ذاتی مسلک ثابت نہیں کرتا {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔"
     },
     "sources": [
      "source/karaji-ataie-simmons-2020"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "id": "transmitted-finite-rule",
     "standing": "main",
     "summary": {
      "ar": "شاهد لاحق لعمل مفقود، مع سوابق هندية وتطور صيني مقارن؛ وصف ماكتوتر للاستدلال المبكر لا يساوي صياغة الاستقراء الحديث {cite:samawal-dsb algebra} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}.",
      "en": "Later witness to lost work, alongside earlier Indian and comparable Chinese developments; MacTutor's early recursive reasoning is not the fully formulated modern induction principle {cite:samawal-dsb algebra} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}.",
      "ur": "گم شدہ کام کا بعد کا شاہد، پہلے ہندوستانی اور تقابلی چینی کام کے ساتھ؛ میک ٹیوٹر کی ابتدائی تکراری دلیل مکمل جدید استقرا کا اصول نہیں {cite:samawal-dsb algebra} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
     },
     "sources": [
      "source/samawal-dsb",
      "source/jaina-mathematics-mactutor",
      "source/jia-xian-mactutor",
      "source/karaji-mactutor"
     ]
    }
   ]
  },
  "precursors": [
   {
    "invention": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "note": "Operational background: multiplying and collecting algebraic expressions. This record isolates the reusable coefficient recurrence rather than recounting all those operations.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   },
   {
    "external": {
     "ar": "جبر الخوارزمي وأبي كامل والحساب الديوفانطي",
     "en": "Al-Khwarizmi/Abu Kamil algebra and Diophantine arithmetic",
     "ur": "خوارزمی اور ابو کامل کا الجبرا اور دیوفنطسی حساب"
    },
    "note": "Earlier algebraic setting reported by the biographies, not a claim that these authors already supplied Karaji's complete recurrence.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor",
     "source/samawal-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [
   {
    "external": {
     "ar": "الشاهد النصي في الباهر للسموأل",
     "en": "The textual witness in al-Samawal's al-Bahir",
     "ur": "سموأل کے الباہر میں متنی شاہد"
    },
    "note": "Documented preservation and attribution, not an inferred geographical diffusion route or additional invention record.",
    "sources": [
     "source/samawal-mactutor",
     "source/samawal-dsb"
    ]
   }
  ],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "ربط قائمة المعاملات بتكرار ضرب مجموع جزأين، فأتاح إجراءً منظماً للقوى التالية؛ أثر موثق في العمل الجبري، لا قياس لتغير دخل التجار {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "en": "Linked a coefficient table to repeated multiplication of a two-part sum, providing a systematic procedure for successive powers; a documented algebraic effect, not a measured change in merchants' earnings {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "ur": "ضریب کی جدول کو دو حصوں کے مجموعے کی مسلسل ضرب سے جوڑا، اگلی قوتوں کے لیے منظم طریقہ دیا؛ جبری اثر ثابت ہے، تاجروں کی آمدنی کی تبدیلی نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "حفظ السموأل الحساب المفقود؛ ولا تثبت المصادر المقروءة سلسلة انتقال منه إلى باسكال أو نيوتن {cite:samawal-dsb algebra} {cite:pascal-mactutor Biography}.",
    "en": "Al-Samawal preserved the lost computation; the sources read do not establish a transmission chain from it to Pascal or Newton {cite:samawal-dsb algebra} {cite:pascal-mactutor Biography}.",
    "ur": "سموأل نے گم شدہ حساب محفوظ کیا؛ پڑھے ہوئے مصادر اس سے پاسکال یا نیوٹن تک انتقال کی زنجیر ثابت نہیں کرتے {cite:samawal-dsb algebra} {cite:pascal-mactutor Biography}۔"
   },
   "significance": 4,
   "why": "Field-level method: general coefficient construction and an important surviving recursive argument, as reported by MacTutor and DSB; no civilization-wide causal claim."
  },
  "described_in": [
   "work/al-bahir-fi-al-jabr"
  ],
  "spread": [],
  "examples": [],
  "sites": [
   "place/baghdad"
  ],
  "concepts": [
   "concept/algebra"
  ],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "جدول معاملات للأسس الصحيحة غير السالبة في الترميز التعليمي الحديث؛ الصورة الحديثة ليست مخطوط الكرجي {cite:commons-pascal-triangle-five description}.",
    "en": "A coefficient table for nonnegative integer powers in modern teaching notation; the modern image is not Karaji's manuscript {cite:commons-pascal-triangle-five description}.",
    "ur": "جدید تدریسی رموز میں غیر منفی صحیح قوتوں کی ضریب جدول؛ جدید تصویر کرجی کا مخطوطہ نہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "المثلث التعليمي الحديث والقوى الأوسع للمقارنة؛ لا سلسلة انتقال مباشرة مثبتة من الكرجي إلى باسكال وواليس ونيوتن {cite:pascal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
    "en": "Modern teaching triangle and broader powers as comparison; no established direct chain from Karaji to Pascal, Wallis and Newton {cite:pascal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}.",
    "ur": "جدید تدریسی مثلث اور وسیع قوتیں بطور موازنہ؛ کرجی سے پاسکال، والیس اور نیوٹن تک ثابت براہ راست زنجیر نہیں {cite:pascal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/karaji-binomial-triangle",
   "diagram": "media/diagram-karaji-binomial-coefficient-recurrence"
  },
  "kids": {
   "ar": "صف1،2،1 يعطي معاملات المربع؛ اجمع كل متجاورين لتحصل على1،3،3،1 للمكعب، مع إبقاء الواحد في الطرفين. هذا تمرين حديث لقاعدة ينقلها السموأل عن الكرجي، لا صورة لورقته الأصلية {cite:karaji-mactutor Biography}.",
   "en": "The row1,2,1 supplies square coefficients; add adjacent entries to obtain1,3,3,1 for the cube, keeping a one at each end. This modern exercise illustrates the rule al-Samawal attributes to Karaji, not his original page {cite:karaji-mactutor Biography}.",
   "ur": "صف1،2،1 مربع کے ضریب دیتی ہے؛ ہر متجاور جوڑی جمع کرکے1،3،3،1 مکعب کے لیے بنائیں، دونوں سروں پر ایک رکھیں۔ یہ سموأل کی کرجی سے منسوب قاعدے کی جدید مشق ہے، اصل ورق کی تصویر نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
  },
  "sources": [
   "source/karaji-mactutor",
   "source/tdv-kereci",
   "source/karaji-ataie-simmons-2020",
   "source/samawal-mactutor",
   "source/samawal-dsb",
   "source/jaina-mathematics-mactutor",
   "source/jia-xian-mactutor",
   "source/pascal-mactutor",
   "source/commons-pascal-triangle-five"
  ],
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "github-copilot",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b98",
   "source": "Actual MacTutor biographies/Jaina combination section, DSB mirrored entry and bibliography, TDV entry, HESS printed762 and Commons file/licence/history/image read. No al-Bahir manuscript,1972 edition, Anbouba1964 or blocked2015 paper reading claimed."
  },
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "كيف نعرف الأعداد التي تظهر عندما نضرب مجموع مقدارين في نفسه مرات متتابعة؟ تنسب المصادر إلى [[person/al-karaji|أبي بكر الكرجي]] قاعدة لبناء تلك المعاملات بجمع الأعداد المتجاورة في جدول، وتنقلها عن [[person/al-samawal-al-maghribi|السموأل المغربي]] الذي حفظ حساباً أصلياً لم يعد باقياً {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. ينتمي العمل إلى سياق الجبر ببغداد أوائل القرن الحادي عشر، لكن تاريخ كتابة النص المفقود ومكان كتابته التفصيلي غير مثبتين هنا {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. نسميه تحسيناً محدداً في توليد معاملات القوى، لا اختراع كل الجبر ولا أول مثلث حسابي في العالم {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "الثنائي هنا مجموع جزأين، والمعامل عدد يخبرنا كم مرة يساهم حاصل ضرب معين بعد جمع الحدود المتشابهة؛ تعرض السيرة المنقولة مثلاً صف الواحد والاثنين والواحد لتمثيل المربع {cite:karaji-mactutor Biography}. في ترميزنا التعليمي الحديث نكتب المجموع(a+b)، فيكون مربعهa²+2ab+b²؛ ليس الحرفان والأسس المكتوبة بهذه الهيئة نقلاً من مخطوط الكرجي {cite:karaji-mactutor Biography}. المساهمة الخاصة بهذه الصفحة هي طريقة استخراج قائمة المعاملات للمرتبة التالية، بدلاً من إعادة سرد كل قواعد [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب المقادير المركبة]] المنشورة في صفحة مستقلة {cite:karaji-mactutor Biography}. يصور الرسم الحديث المرافق ستة صفوف من المعاملات، بينما يصف الشاهد التاريخي بناء جدول يمكن عرضه كأنه مثلث موضوع على جانبه {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "لم يبدأ التعامل مع المقادير المجهولة عند الكرجي: تضعه ماكتوتر في امتداد جبر الخوارزمي وغيره من الجبريين العرب، مع أثر القراءة الحسابية لديوفانتوس {cite:karaji-mactutor Biography}. وتذكر سيرة السموأل أعمال أبي كامل ضمن ما قرأه قبل تطوير عمله الخاص {cite:samawal-mactutor Biography}. خارج هذه السلسلة العربية، يعرض تاريخ الرياضيات الجاينية قواعد للتوافيق والتباديل، ويذكر ربط التوافيق بمعاملات نشر الثنائي ومثلثاً في تعليق من القرن العاشر على عمل أقدم {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. هذا شاهد على تقليد هندي سابق أو موازٍ في موضوع المعاملات، لا وثيقة تثبت وصول ذلك التعليق إلى الكرجي {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:karaji-mactutor Biography}. لذلك لا تتحول مقارنة الشكل إلى قصة سفر أو ترجمة غير موثقة."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تذكر ماكتوتر أن الكرجي حسب مكعب المجموع في الفخري، ومكعب الفرق والقوة الرابعة للمجموع في البديع؛ أما البناء العام للجدول فتحفظه كتابة السموأل اللاحقة {cite:karaji-mactutor Biography}. وتصف مقالة عادل أنبوبا في معجم السير العلمية حساب المعاملات بأنه عمل للكرجي بعد1007، مع إحالة إلى طبعة البديع التي لم نقرأها مستقلة {cite:samawal-dsb algebra}. لا نعامل هذه الإحالة على أنها تاريخ دقيق لتأليف كتاب وصل إلينا كاملاً {cite:samawal-dsb algebra}. أعجب السموأل بعمل الكرجي، لكنه رأى فيه نواقص وسعى إلى استكماله؛ وتصف السير [[work/al-bahir-fi-al-jabr|الباهر في الجبر]] بأنه عمل شبابي قد تكون لحقته مراجعات {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. هنا تبدأ قصة الحفظ: مؤلف لاحق يذكر سلفه داخل بناء جبري أوسع، لا لقاء شخصي مثبت بين الرجلين."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "دور الكرجي في هذا السجل «محسّن»: يرتبط باسمه الإجراء المتكرر لتوليد معاملات القوى داخل تقليد أقدم، لا ادعاء الأولية العالمية للتوافيق أو للمثلثات {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. تصفه دراسة عطائي آشتياني وسيمونز صراحة باسمه بأنه رياضي ومهندس مسلم، ولا تشهد له بمذهب شخصي {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}. الإطار السني المعلن هو إطار المتحف، وتبقى رعاية العصر البويهي والسياق البغدادي منفصلين عن إثبات المعتقد الفردي {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. أما السموأل فدوره هنا ناقل للشاهد: تضع سيرته تأليف الباهر في شبابه، وتؤرخ تحوله إلى الإسلام في1163، فلا ننسب تلقائياً كل نص الكتاب إلى مرحلة إسلامية أو إلى مذهب سني ثابت {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "تبدأ الترجمة التي تعرضها ماكتوتر بواحدين، ثم تبني قائمة1،2،1 للمربع، وتشرح أن الطرفين يمثلان مربع كل جزء وأن الوسط يمثل حاصل ضرب الجزأين مرتين {cite:karaji-mactutor Biography}. للحصول على القائمة التالية يبقى الواحد في الطرفين، ويجمع الواحد والاثنان ليظهر ثلاثة، ثم الاثنان والواحد ليظهر ثلاثة أخرى؛ فتكون1،3،3،1 {cite:karaji-mactutor Biography}. لا يحتاج بناء هذه القائمة إلى تقسيم عامل كبير أو البحث عن معاملات كل حد على حدة؛ إنه الإجراء الجمعي الذي يصفه الشاهد {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nفي إعادة البناء الحديثة يمكن تسمية معامل المرتبةn والموضعk بالرمزC(n,k)، وعندئذ تكون القاعدة الداخليةC(n+1,k)=C(n,k−1)+C(n,k)، مع معامل واحد عند الطرفين {cite:karaji-mactutor Biography}. الرموز والفهرسة هنا وسيلة شرح، وليست ألفاظ المؤلف ولا دليلاً على أنه كتب تعريفاً حديثاً للرتبة الصفرية {cite:karaji-mactutor Biography}. عند ضرب(a+b)³ في(a+b)، يأتي كل حد داخلي من طريقين: ضرب حد سابق فيa، وضرب جاره فيb، ولذلك تجمع مساهمتاهما في معامل واحد {cite:karaji-mactutor Biography}. من1،3،3،1 نحصل بالتالي على1،4،6،4،1 للقوة الرابعة، ثم1،5،10،10،5،1 للخامسة، وهي نهاية الصفوف في الصورة الحديثة {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}.\n\nلنجربa=2 وb=3 بوصفهما عددين اختارهما المتحف للشرح، لا مثالاً تاريخياً منسوباً: المربع يعطي4+12+9=25، والمكعب يعطي8+36+54+27=125 {cite:karaji-mactutor Biography}. في القوة الرابعة تعطينا القائمة نفسها16+96+216+216+81=625، فتطابق5⁴ {cite:karaji-mactutor Biography}. هذا الفحص العددي يوضح وظيفة المعاملات، لكنه لا يثبت وحده صحة القاعدة لكل قوة؛ تميز ماكتوتر بين سلسلة الاستدلال المبكر وصياغة الاستقراء الرياضي الصارمة {cite:karaji-mactutor Biography}. والنطاق هنا قوى صحيحة متناهية، لا سلسلة لا نهائية لأس سالب أو كسري {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:pascal-mactutor Biography}.\n\nيمكن أيضاً فحص التناظر في قوائم الشاهد: تعطي1،3،3،1 الأعداد نفسها إذا قرئت من الطرف الآخر، ويبقى ذلك في الصفين الرابع والخامس المعروضين {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}. وفي إعادة البناء، تبديل اسمي الجزأين يبدل ترتيب الحدود ولا يبدل مجموعهما؛ لذلك يمكن استخدام التناظر فحصاً تعليمياً للصف، لا نسبة نظرية جديدة غير موثقة للمؤلف {cite:karaji-mactutor Biography}. يختلف عدد المعاملات عن الأس بواحد، لأن الطرفين محفوظان بين المساهمات الداخلية {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "الانتقال المثبت في المصادر المقروءة انتقال نصي من عمل الكرجي إلى عرض السموأل في الباهر، لا خريطة بمحطات مؤرخة لكل نسخة {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. وتقول مقالة أنبوبا إن تقدير أثر الباهر في الجبر العربي صعب، وتقترح أثراً غير مباشر ومحدوداً في مفتاح الحساب للكاشي، وتصف الكتاب بأنه كان فيما يبدو مجهولاً في الغرب {cite:samawal-dsb algebra}. هذه أحكام المؤلف التاريخية، لا برهان المتحف على انعدام أي انتقال ممكن {cite:samawal-dsb algebra}. لا نحول سفر السموأل في العراق والشام وغيرها إلى مسار حمل مؤكد لهذا الجدول، لأن السيرة لا تربط كل رحلة بنسخة من الباهر {cite:samawal-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "الأساس التشغيلي هو إمكان ضرب الحدود وجمع المتشابه في [[concept/algebra|الجبر]]، كما تشرحه سيرة الكرجي ضمن حساب المقادير المركبة {cite:karaji-mactutor Biography}. تعطي عملية الضرب معنى للمعامل، وتعطي القاعدة المتكررة طريقة لبناء المعاملات التالية؛ ليستا اسمين متبادلين لكل الإنجاز الجبري {cite:karaji-mactutor Biography}. يسجل الرسم المفهومي حساب الكرجي العام والجبر السابق بوصفهما سياقين، ثم القاعدة المحددة، ثم الشاهد في الباهر {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-mactutor Biography}. ولا يضع التقليد الهندي في سلسلة سببية مختلقة: يظهر في المقارنة التاريخية السابقة مع حد الدليل المعلن {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "أقرب بناء موثق هو استعمال السموأل الشاهد في كتابه، مع عرضه الأوسع للعمليات والمعادلات والمجاميع {cite:samawal-mactutor Biography}. وفي الصين يصف ماكتوتر جدول جيا شيان، المعروف من شرح يانغ هوي سنة1261، بما فيه صف القوة السادسة وقاعدة جمع العددين اللذين فوق كل موضع {cite:jia-xian-mactutor Biography}. هذه مقارنة بعمل مشابه، لا تابعاً ثبت أنه أخذ من الكرجي {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}. أما سيرة باسكال فتربط عمله في المثلث، عبر واليس، بتعميم نيوتن إلى القوى السالبة والكسرية؛ لا تقدم في المقطع المقروء طريقاً من بغداد إلى تلك الدراسة الأوروبية {cite:pascal-mactutor Biography}. لذلك تبقى التوسعة اللاحقة مميزة عن المدى المتناهي لهذا السجل."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "الأثر الذي نستطيع وصفه بثقة يقع في عمل الحاسب والمتعلم: بناء معاملات القوة التالية بجمع المتجاورين، وربطها بعمليات الضرب، بدلاً من الاكتفاء بقائمة نتائج منفصلة {cite:karaji-mactutor Biography}. تحمل ماكتوتر الشرح حتى القوة الخامسة، فتجعل للقارئ وسيلة متابعة النسق بنفسه {cite:karaji-mactutor Biography}. لكن المصادر المقروءة لا تقيس انخفاض ساعات عمل الناس أو تكاليف الأسواق بسبب هذا الإجراء، ولا تثبت أنه صار أداة يومية لكل تاجر {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. لا ينبغي نقل المنافع العامة للحساب إلى هذه الخوارزمية الخاصة دون شاهد، أو استعارة تطبيقات رياضية أحدث ثم نسبتها إلى مستخدمي بغداد."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تمنحنا كتابة السموأل مادة عن حساب أصلي مفقود؛ فالأهمية التاريخية ليست في بقاء الشكل وحده، بل في بقاء نسبته ووصف بنائه {cite:samawal-dsb algebra} {cite:karaji-mactutor Biography}. وتبرز ماكتوتر الانتقال المتكرر من حالة إلى تالية باعتباره خطوة مهمة نحو فهم البرهان الاستقرائي، مع نفي مساواته باستقراء حديث كامل {cite:karaji-mactutor Biography}. لهذا تختلف معرفة القيم1،3،3،1 عن وصف طريقة تنتج مراتب أخرى وتفسر علاقتها بالضرب {cite:karaji-mactutor Biography}. لا نقول إن أوروبا أو الرياضيات الحديثة لم تكن لتتطور بدونه؛ تلك نتيجة مضادة للواقع لا تسندها المصادر المعروضة."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**الإطار السني للمتحف:** نعرض مساهماً مسلماً بهوية موثقة، ونحفظ السابقين وحدود النسبة، ولا ننسب لمذهب ديني حكماً تقنياً بأن المثلث بدأ هنا {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. لا تدل هوية الكرجي المسلمة وحدها على مذهبه الشخصي، ويظل هذا القيد ظاهراً في بطاقة الشخص {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.\n\n**القراءة الأكاديمية:** تنسب الترجمة المنقولة لدى ماكتوتر البناء العام إلى الكرجي بصوت السموأل، ويؤكد أنبوبا فقدان الحساب الأصلي؛ ليست لدينا في هذه الصفحة قراءة عربية مستقلة لذلك الأصل أو لطبعة الباهر {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. وتمنع الشواهد الهندية المبكرة نسبة كل تاريخ معاملات الثنائي إليه، مثلما تنفي سيرة باسكال أن باسكال كان أول من درس المثلث {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:pascal-mactutor Biography}. السؤال الأدق ليس «أي اسم يلغي الباقين؟»، بل «ما الإجراء الذي ينسبه شاهد معين إلى مؤلف معين؟»."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يمكن للقارئ اليوم رؤية القاعدة في جدول المعاملات للأسس الصحيحة غير السالبة، مع صف أول مفرد يمثل القوة الصفرية في العرض الحديث {cite:commons-pascal-triangle-five description}. لا ننسب هذا الصف التعليمي وتعريفه الرمزي إلى صياغة الكرجي التي نقلتها السيرة {cite:karaji-mactutor Biography}. ويساعد الفصل بين الصورة الحديثة والشاهد القديم على مقارنة صفوف صحيحة رياضياً دون الخلط بين صحة العدد وأصالة الوثيقة {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:samawal-dsb algebra}. أما الحديث عن الكسور والأسس السالبة فيعود إلى تطوير أوسع تعرضه سيرة باسكال في سياق نيوتن، لا إلى ادعاء أن كل تلك النتائج وردت في الكتاب المفقود {cite:pascal-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "الشاهد النصي الأساسي لهذه النسبة هو الباهر، بينما تقول السير إن حساب الكرجي الأصلي مفقود {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. تسجل ببليوغرافيا أنبوبا نسخاً للباهر بإستانبول، منها آيا صوفيا2718 وأسعد أفندي3155، وتذكر طبعة أحمد وراشد الحديثة؛ لم نفحص صور تلك المخطوطات أو فهارسها الحالية {cite:samawal-dsb bibliography}. يختلف عام الطبعة داخل المقالة نفسها بين1972 و1971، فلا نزيل التعارض بتخمين {cite:samawal-dsb bibliography}. والصورة الظاهرة هنا عمل حديث لكونراد إروين عن دريني مؤرخ في سجل كومنز بسنة2007، وليست ورقة من أي نسخة من الباهر {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "تسمية «مثلث باسكال» شائعة في السيرة الرياضية الحديثة، لكنها لا تعني أن المثلث لم يكن معروفاً قبله؛ تقول ماكتوتر ذلك صراحة {cite:pascal-mactutor Biography}. وتسمح المقارنة بين جدول الكرجي وجدول جيا شيان برؤية كيف تحفظ أسماء متباعدة أعمالاً مختلفة في الشكل المشترك نفسه {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jia-xian-mactutor Biography}. لا نسند إلى هذا السجل ظهوراً معيناً في فيلم أو طابع أو كتاب مدرسي بعينه، لأن المصادر المستخدمة لا تقدم شاهداً محدداً على ذلك."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "اكتب على الورق1،2،1، ثم ضع واحداً عند كل طرف في السطر الجديد؛ بينهما اجمع1+2 ثم2+1 لتحصل على1،3،3،1 {cite:karaji-mactutor Biography}. هذه الأعداد تخبرك، في المثال الحديث، كيف تجمع نتائج ضرب مجموع جزأين ثلاث مرات {cite:karaji-mactutor Biography}. إذا اخترت الجزأين2 و3، فالناتج8+36+54+27، وهو125، مثل5×5×5 {cite:karaji-mactutor Biography}. المثال اختيار تعليمي منا، أما قاعدة الجمع فينقلها السموأل من عمل الكرجي {cite:karaji-mactutor Biography}. عندما ترى الصورة تذكر أنها لوحة حديثة بستة صفوف، لا صورة للعالم أو لمخطوطه {cite:commons-pascal-triangle-five description}. هل يمكنك بناء السطر التالي من غير أن تضرب كل الحدود أولاً؟"
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- [[source/karaji-mactutor|ماكتوتر: الكرجي]]، قسم السيرة والبناء المنقول عن السموأل {cite:karaji-mactutor Biography}.\n- [[source/samawal-mactutor|ماكتوتر: السموأل]]، الباهر والهوية الزمنية {cite:samawal-mactutor Biography}.\n- [[source/samawal-dsb|أنبوبا: معجم السير العلمية]]، الجبر والببليوغرافيا {cite:samawal-dsb algebra} {cite:samawal-dsb bibliography}.\n- [[source/jaina-mathematics-mactutor|الرياضيات الجاينية]] و[[source/jia-xian-mactutor|جيا شيان]] للمقارنة لا لإثبات انتقال مباشر {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography}.\n- [[source/pascal-mactutor|باسكال]]، المثلث والقوى الأوسع {cite:pascal-mactutor Biography}.\n- [[source/tdv-kereci|ترجمة الكرجي في TDV]]277–278، و[[source/karaji-ataie-simmons-2020|الدراسة المحكمة]]762، للسياق والهوية {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.\n- [[source/commons-pascal-triangle-five|سجل الصورة]]، المصدر والترخيص، لا التاريخ العلمي {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b98",
     "source": "قراءة مباشرة للمصادر المعرفة؛ الأمثلة الرمزية إعادة بناء تعليمية حديثة، لا نسخ لمخطوط."
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "How can we find the numbers appearing when a sum of two quantities is multiplied by itself repeatedly? The sources attribute to [[person/al-karaji|Abu Bakr al-Karaji]] a rule generating these coefficients by adding adjacent entries in a table; [[person/al-samawal-al-maghribi|al-Samawal al-Maghribi]] transmits the account of an original computation that no longer survives {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. Its setting is early-eleventh-century Baghdad algebra, but this account does not establish the particular lost text's exact composition date or writing location {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. We describe a bounded improvement in coefficient generation, not the invention of all algebra or the world's first arithmetic triangle {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "A binomial here is a sum of two parts; a coefficient records how often a particular product contributes after like terms are collected, illustrated in the transmitted account by the square's sequence of one, two and one {cite:karaji-mactutor Biography}. In modern teaching notation we write(a+b), whose square is a²+2ab+b²; these letters and superscripts are not a transcription of Karaji's manuscript {cite:karaji-mactutor Biography}. This page's particular contribution is a method for finding the next power's coefficient list, rather than another account of all the [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|operations on composite expressions]] already described separately {cite:karaji-mactutor Biography}. The accompanying modern image displays six rows, whereas the historical witness describes a table that can be pictured as a triangle lying on its side {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Operations on unknown quantities did not begin with Karaji: MacTutor places his work within the tradition of al-Khwarizmi and other Arabic algebraists, alongside the arithmetic influence of Diophantus {cite:karaji-mactutor Biography}. Al-Samawal's biography also includes Abu Kamil among the authors he studied before developing his own work {cite:samawal-mactutor Biography}. Outside this Arabic sequence, the history of Jaina mathematics describes rules for combinations and permutations, connections between combinations and binomial coefficients, and a triangle in a tenth-century commentary on an older work {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. That is evidence of an earlier or parallel Indian coefficient tradition, not a document showing that the particular commentary reached Karaji {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:karaji-mactutor Biography}. Similar shapes do not by themselves supply a journey or a translation."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "MacTutor reports that Karaji calculated the cube of a sum in al-Fakhri, and the cube of a difference and fourth power of a sum in al-Badi; the general table construction is preserved in al-Samawal's later writing {cite:karaji-mactutor Biography}. Adel Anbouba's Dictionary of Scientific Biography entry places Karaji's coefficient calculation after1007, referring to an edition of al-Badi that we have not independently read {cite:samawal-dsb algebra}. That reference is not treated here as the exact composition date of a complete surviving original {cite:samawal-dsb algebra}. Al-Samawal admired Karaji but also identified shortcomings and developed improvements; the biographies describe [[work/al-bahir-fi-al-jabr|al-Bahir in algebra]] as a youthful work that may subsequently have been revised {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. The preservation story is therefore a later author naming a predecessor within a larger algebraic project, not a documented personal meeting."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "Karaji's role in this record is **improver**: the repeatable generation of coefficients is associated with him within an older tradition, without world-first claims for combinations or triangles {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. Ataie-Ashtiani and Simmons explicitly identify the named mathematician and engineer as Muslim, but do not attest his personal religious school {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}. The separately declared Sunni frame belongs to the museum; Buyid patronage and Baghdad context remain distinct from evidence of individual belief {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Al-Samawal's role here is **transmitter**: his biography places the initial al-Bahir in his youth and his conversion to Islam in1163, so neither every passage's Islamic-period composition nor a personal Sunni affiliation is assumed {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "The translated testimony reproduced by MacTutor begins with ones and constructs1,2,1 for the square; the extremes represent each part's square, while the middle records the product of the two parts twice {cite:karaji-mactutor Biography}. To obtain the next list, retain a one at each extreme, add one and two to obtain three, and then two and one to obtain another three, producing1,3,3,1 {cite:karaji-mactutor Biography}. Generating this list does not require dividing a large factorial or independently searching for every coefficient; adjacent addition is the procedure actually described by the witness {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nIn a modern reconstruction we can name the coefficient of power n at position k as C(n,k), giving the internal recurrence C(n+1,k)=C(n,k−1)+C(n,k), with one at each boundary {cite:karaji-mactutor Biography}. This indexing and symbolism explain the rule; they are not the author's words or evidence that he supplied the modern definition of a zeroth-power row {cite:karaji-mactutor Biography}. When(a+b)³ is multiplied by(a+b), each interior term receives contributions in two ways: a preceding term multiplied by a and its neighbour multiplied by b, whose coefficients must consequently be added {cite:karaji-mactutor Biography}. From1,3,3,1 we therefore obtain1,4,6,4,1 for the fourth power, followed by1,5,10,10,5,1 for the fifth, the last row of the modern illustration {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}.\n\nTake a=2 and b=3 as numbers selected by the museum for explanation, not a historical example attributed to the author: the square gives4+12+9=25, and the cube8+36+54+27=125 {cite:karaji-mactutor Biography}. The fourth-power list gives16+96+216+216+81=625, agreeing with5⁴ {cite:karaji-mactutor Biography}. This numerical check illustrates what coefficients do, but does not alone prove the rule for every power; MacTutor distinguishes the early successive reasoning from a rigorous exposition of mathematical induction {cite:karaji-mactutor Biography}. The scope here is finite integer powers, not an infinite series for a negative or fractional exponent {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:pascal-mactutor Biography}.\n\nSymmetry supplies another check on the witness's lists:1,3,3,1 reads identically from either end, as do the displayed fourth- and fifth-power rows {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}. In the reconstruction, exchanging the names of the two parts reverses term order without changing their sum, making symmetry a teaching check rather than an attribution of a further undocumented theorem {cite:karaji-mactutor Biography}. The number of coefficients exceeds the exponent by one because the two boundary terms remain alongside the interior contributions {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "The transition established by the sources read is textual: from Karaji's work to al-Samawal's account in al-Bahir, not a map of dated stations for every manuscript {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. Anbouba says that al-Bahir's influence on Arabic algebra is difficult to assess, suggests indirect and restricted influence on al-Kashi's Key of Arithmetic, and describes the book as apparently unknown in the West {cite:samawal-dsb algebra}. These are the historian's assessments, not a museum proof that no transmission could ever have occurred {cite:samawal-dsb algebra}. Nor are al-Samawal's travels in Iraq, Syria and elsewhere converted into a confirmed itinerary for this table, since the biography does not associate every journey with a copy of al-Bahir {cite:samawal-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The operational foundation is multiplication and collection of like terms in [[concept/algebra|algebra]], described within Karaji's arithmetic of composite expressions {cite:karaji-mactutor Biography}. Multiplication supplies the coefficient's meaning, while the recurrence supplies a way to generate the next coefficients; these are not interchangeable names for the whole algebraic achievement {cite:karaji-mactutor Biography}. The conceptual diagram records Karaji's general expression arithmetic and earlier algebra as contexts, followed by the particular recurrence and then the witness in al-Bahir {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-mactutor Biography}. The Indian tradition is not placed in an invented causal chain: it appears in the preceding historical comparison with the evidential limit made explicit {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "The nearest documented subsequent construction is al-Samawal's incorporation of the testimony within his broader treatment of operations, equations and summations {cite:samawal-mactutor Biography}. For China, MacTutor describes Jia Xian's table, known from Yang Hui's1261 explanation, including the sixth-power row and the rule adding the two entries above each position {cite:jia-xian-mactutor Biography}. This is comparable work, not a dependent demonstrated to have borrowed from Karaji {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}. Pascal's biography connects his triangle work through Wallis to Newton's extension to negative and fractional powers; the passage read supplies no route from Baghdad to that European investigation {cite:pascal-mactutor Biography}. The later extension consequently remains distinct from this record's finite scope."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The effect we can confidently describe concerns the calculator and learner: generating the next power's coefficients by adjacent addition and connecting them to multiplication, rather than presenting only disconnected lists of answers {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor follows the explanation through the fifth power, allowing a reader to continue the pattern {cite:karaji-mactutor Biography}. The sources read do not measure reductions in working hours or market costs caused by this procedure, or establish that it became every merchant's daily tool {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. General benefits of arithmetic should not be assigned to this particular algorithm without evidence, nor should later mathematical applications be retroactively attributed to Baghdad users."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "Al-Samawal's writing preserves material about a lost original calculation; the historical importance is therefore not merely the survival of a shape, but of its attribution and construction account {cite:samawal-dsb algebra} {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor highlights successive reasoning from one case to the next as an important step towards understanding inductive proof, while denying equivalence with a fully formulated modern induction principle {cite:karaji-mactutor Biography}. Knowing the values1,3,3,1 is consequently different from describing a procedure generating further powers and explaining their relationship to multiplication {cite:karaji-mactutor Biography}. We do not say that Europe or modern mathematics could not have developed without it; that counterfactual is not supported by the displayed sources."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Sunni museum frame:** we present a contributor with documented Muslim identity, preserving predecessors and attribution limits, without assigning a religious school the technical judgement that the triangle began here {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}. Karaji's documented Muslim identity does not alone establish his personal school, and that distinction remains visible in his person record {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.\n\n**Academic account:** the mediated translation in MacTutor attributes the general construction to Karaji through al-Samawal's testimony, while Anbouba confirms that the original computation is lost; this page does not claim an independent Arabic reading of that original or the al-Bahir edition {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. Earlier Indian evidence prevents assigning all binomial-coefficient history to Karaji, just as Pascal's biography explicitly denies that Pascal first studied the triangle {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:pascal-mactutor Biography}. The more precise question is not which name cancels all others, but which procedure a particular witness attributes to a particular author."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "A reader can now see the recurrence in a table of coefficients for nonnegative integer powers, with a single-entry opening row representing the zeroth power in modern presentation {cite:commons-pascal-triangle-five description}. That instructional row and its symbolic definition are not credited to Karaji's formulation as transmitted in the biography {cite:karaji-mactutor Biography}. Separating modern illustration from historical witness allows comparison of mathematically correct rows without confusing numerical validity with documentary authenticity {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:samawal-dsb algebra}. Fractional and negative exponents belong to the wider development discussed in Pascal's biography in connection with Newton, not a claim that all such results occurred in the lost book {cite:pascal-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "The principal textual witness for this attribution is al-Bahir, while the biographies state that Karaji's original computation is lost {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}. Anbouba's bibliography lists Istanbul witnesses, including Aya Sofya2718 and Esat Efendi3155, and a modern Ahmad/Rashed edition; we have not inspected these manuscripts' images or their current catalogues {cite:samawal-dsb bibliography}. The article itself gives the edition's year as1972 and elsewhere1971, a discrepancy not silently resolved by guessing {cite:samawal-dsb bibliography}. The displayed image is a modern work by Conrad Irwin after Drini, dated2007 in the Commons record, not a leaf from any copy of al-Bahir {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "“Pascal's triangle” is a familiar name in modern mathematical biography, but does not imply that the triangle was unknown before him; MacTutor expressly says otherwise {cite:pascal-mactutor Biography}. Comparing Karaji's table with Jia Xian's shows how distinct names preserve different works involving the same shared mathematical arrangement {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jia-xian-mactutor Biography}. No particular appearance in a film, postage stamp or named school textbook is attributed here, because the sources used supply no specific witness for it."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Write1,2,1 on paper and place a one at each end of a new line; between them add1+2 and2+1 to obtain1,3,3,1 {cite:karaji-mactutor Biography}. In the modern example these numbers tell you how to collect the results of multiplying a two-part sum three times {cite:karaji-mactutor Biography}. If you choose the parts2 and3, the result is8+36+54+27, or125, the same as5×5×5 {cite:karaji-mactutor Biography}. Those example numbers are our instructional choice, while al-Samawal attributes the addition rule to Karaji {cite:karaji-mactutor Biography}. Remember that the illustration is a modern six-row diagram, not a picture of the scholar or his manuscript {cite:commons-pascal-triangle-five description}. Can you build the next line without first multiplying every term?"
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- [[source/karaji-mactutor|MacTutor: Karaji]], biography and testimony transmitted through al-Samawal {cite:karaji-mactutor Biography}.\n- [[source/samawal-mactutor|MacTutor: al-Samawal]], al-Bahir and religious chronology {cite:samawal-mactutor Biography}.\n- [[source/samawal-dsb|Anbouba: Dictionary of Scientific Biography]], algebra and bibliography {cite:samawal-dsb algebra} {cite:samawal-dsb bibliography}.\n- [[source/jaina-mathematics-mactutor|Jaina mathematics]] and [[source/jia-xian-mactutor|Jia Xian]], comparative evidence, not a direct diffusion claim {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography}.\n- [[source/pascal-mactutor|Pascal]], triangle and wider powers {cite:pascal-mactutor Biography}.\n- [[source/tdv-kereci|TDV Karaji entry]]277–278 and [[source/karaji-ataie-simmons-2020|peer-reviewed study]]762 for context and identity {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.\n- [[source/commons-pascal-triangle-five|Image record]], source and licence, not mathematical history {cite:commons-pascal-triangle-five description}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "github-copilot"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b98",
     "source": "Translation of the Arabic account from directly read defined sources; symbolic examples are modern teaching reconstructions, not manuscript transcriptions."
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "دو مقداروں کے مجموعے کو بار بار خود اسی سے ضرب دیں تو نتیجے میں آنے والے اعداد کیسے معلوم ہوں؟ مصادر [[person/al-karaji|ابو بکر الکرجی]] سے ایک قاعدہ منسوب کرتے ہیں جو جدول کے متجاور اعداد کو جمع کرکے ضریب پیدا کرتا ہے؛ [[person/al-samawal-al-maghribi|سموأل المغربی]] اس اصل حساب کا بیان محفوظ کرتے ہیں جو اب باقی نہیں رہا {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ اس کا سیاق گیارہویں صدی کے ابتدائی بغداد کا الجبرا ہے، لیکن مخصوص گم شدہ متن کی تحریر کا دقیق وقت اور مقام یہاں ثابت نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ ہم اسے ضریب بنانے کی ایک متعین بہتری کہتے ہیں، پورے الجبرا کی ایجاد یا دنیا کا پہلا حسابی مثلث نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "یہاں دو رکنی عبارت سے مراد دو حصوں کا مجموعہ ہے؛ ضریب بتاتا ہے کہ ہم جنس حدیں جمع کرنے کے بعد کوئی خاص حاصل ضرب کتنی بار شامل ہوا، جس کی منقول بیان میں مربع کے لیے ایک، دو، ایک کی مثال ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جدید تدریسی رموز میں ہم(a+b) لکھتے ہیں، جس کا مربعa²+2ab+b² ہے؛ یہ حروف اور اس انداز کے بالائی اسس کرجی کے مخطوطے کی نقل نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ اس صفحے کی خاص بات اگلی قوت کے ضریب کی فہرست نکالنے کا طریقہ ہے، نہ کہ [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|مرکب عبارتوں کے تمام عملیات]] کو دوبارہ ایک ایجاد شمار کرنا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ساتھ کی جدید تصویر چھ صفیں دکھاتی ہے، جب کہ تاریخی شاہد ایک جدول کی تعمیر بیان کرتا ہے جسے پہلو پر رکھا ہوا مثلث سمجھ سکتے ہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "نامعلوم مقداروں کا حساب کرجی سے شروع نہیں ہوا: میک ٹیوٹر ان کے کام کو خوارزمی اور دوسرے عربی جبری مصنفین کی روایت میں رکھتا ہے، اور دیوفنطس کے حسابی اثر کو بھی بیان کرتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ سموأل کی سوانح ان کی پڑھی ہوئی کتابوں میں ابو کامل کو بھی شامل کرتی ہے، جن کے بعد انہوں نے اپنا کام آگے بڑھایا {cite:samawal-mactutor Biography}۔ اس عربی ترتیب سے باہر جین ریاضی کی تاریخ توافیق اور تبادلات کے قواعد، توافیق اور دو رکنی ضریب کے تعلق، اور ایک قدیم تصنیف کی دسویں صدی کی شرح میں مثلث بیان کرتی ہے {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}۔ یہ پہلے یا متوازی ہندوستانی ضریب کی روایت کا ثبوت ہے، اس خاص شرح کے کرجی تک پہنچنے کی دستاویز نہیں {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ملتے جلتے خاکے اپنے آپ میں سفر یا ترجمے کی کہانی فراہم نہیں کرتے۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "میک ٹیوٹر بتاتا ہے کہ کرجی نے الفخری میں مجموعے کا مکعب، اور البدیع میں فرق کا مکعب اور مجموعے کی چوتھی قوت نکالی؛ جدول کی عمومی تعمیر سموأل کی بعد کی تحریر میں محفوظ ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ عادل انبوبا کا علمی سوانح کے معجم والا مقالہ ضریب کا حساب1007 کے بعد کا کام کہتا ہے، اور البدیع کی ایک طباعت کا حوالہ دیتا ہے جسے ہم نے الگ خود نہیں پڑھا {cite:samawal-dsb algebra}۔ اس حوالے کو کسی مکمل محفوظ اصل کتاب کی دقیق تاریخ تحریر نہیں بنایا گیا {cite:samawal-dsb algebra}۔ سموأل کرجی کے کام سے متاثر تھے مگر اس میں کمیاں بھی دیکھتے تھے اور بہتریاں تلاش کرتے تھے؛ سوانح [[work/al-bahir-fi-al-jabr|الباہر فی الجبر]] کو نوجوانی کی تصنیف کہتی ہیں جس میں بعد کی مراجعتیں ممکن ہیں {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ اس طرح تحفظ کی کہانی ایک بعد کے مصنف کے اپنے بڑے جبری منصوبے میں سابق مصنف کو نام سے یاد کرنے کی ہے، دونوں کی ثابت شدہ ذاتی ملاقات کی نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "اس اندراج میں کرجی کا کردار **بہتری لانے والے** کا ہے: پہلے سے موجود روایت میں قوتوں کے ضریب کی تکراری تعمیر ان کے نام سے منسوب ہے، تمام توافیق اور مثلثوں کی عالمی اولیت ان کی طرف نہیں کی گئی {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}۔ عطائی آشتیانی اور سمنز انہیں نام لے کر مسلمان ریاضی دان اور انجینئر کہتے ہیں، لیکن ان کا ذاتی مذہبی مسلک ثابت نہیں کرتے {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔ الگ اعلان کردہ سنی فریم متحف کا ہے؛ بویہی سرپرستی اور بغداد کا ماحول فرد کے عقیدے کی شہادت سے الگ رہتے ہیں {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ سموأل کا یہاں کردار **ناقل** ہے: ان کی سوانح ابتدائی الباہر کو نوجوانی میں اور قبول اسلام کو1163 میں رکھتی ہے، اس لیے کتاب کے ہر جملے کو اسلامی دور کی تصنیف یا ان کا ذاتی سنی مسلک فرض نہیں کرتے {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "میک ٹیوٹر میں دیا ہوا ترجمہ ایک کے اعداد سے شروع ہوتا اور مربع کے لیے1،2،1 بناتا ہے؛ دونوں سرے ہر حصے کا مربع اور درمیان دونوں حصوں کی دو بار ضرب ظاہر کرتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ اگلی فہرست کے لیے دونوں سروں پر ایک باقی رکھیں، ایک اور دو جمع کرکے تین، اور پھر دو اور ایک جمع کرکے دوسرا تین حاصل کریں؛ یوں1،3،3،1 بنتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ فہرست بنانے میں کسی بڑے عاملی عدد سے تقسیم یا ہر ضریب کی الگ تلاش درکار نہیں؛ متجاور اعداد کا جمع ہی شاہد کا بیان کردہ طریقہ ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔\n\nجدید تشکیل میں قوتn کے مقامk کا ضریبC(n,k) کہہ سکتے ہیں؛ اندرونی قاعدہC(n+1,k)=C(n,k−1)+C(n,k) اور دونوں سروں کا ضریب ایک ہوگا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ یہ اشاریہ اور علامتیں سمجھانے کا وسیلہ ہیں، مصنف کے الفاظ یا ان کے جدید صفر والی صف کا تعریف نامہ لکھنے کا ثبوت نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جب(a+b)³ کو(a+b) سے ضرب دیں تو ہر اندرونی حد دو طرف سے بنتی ہے: پچھلی ایک حد کوa سے اور اس کے پڑوسی کوb سے ضرب دے کر؛ اسی لیے دونوں کے ضریب جمع ہوتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔1،3،3،1 سے چوتھی قوت کے لیے1،4،6،4،1، پھر پانچویں کے لیے1،5،10،10،5،1 ملتا ہے، اور یہی جدید تصویر کی آخری صف ہے {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔\n\nسمجھانے کے لیےa=2 اورb=3 لیں؛ یہ اعداد متحف کا انتخاب ہیں، مصنف کی تاریخی مثال نہیں: مربع4+12+9=25 اور مکعب8+36+54+27=125 دیتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ چوتھی قوت کی فہرست16+96+216+216+81=625 دیتی ہے، جو5⁴ سے ملتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ عددی جانچ ضریب کی ذمہ داری سمجھاتی ہے، لیکن اکیلی ہر قوت کے لیے قاعدہ ثابت نہیں کرتی؛ میک ٹیوٹر ابتدائی مسلسل دلیل کو ریاضیاتی استقرا کی سخت اور مکمل توضیح سے الگ کرتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ یہاں صحیح عدد کی محدود قوتیں موضوع ہیں، منفی یا کسری اس کی لا متناہی سلسلہ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:pascal-mactutor Biography}۔\n\nتقارن شاہد کی فہرستیں جانچنے کا ایک اور طریقہ ہے:1،3،3،1 دونوں طرف سے یکساں ہے، جیسے دکھائی ہوئی چوتھی اور پانچویں قوت کی صفیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔ جدید تشکیل میں دونوں حصوں کے نام بدلنے سے حدوں کا ترتیب بدلتا ہے، مجموعہ نہیں؛ اس لیے تقارن تدریسی جانچ ہے، مصنف سے کسی مزید غیر ثابت قضیے کی نسبت نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ضریب کی تعداد اس سے ایک زیادہ ہے، کیونکہ اندرونی شمولیت کے ساتھ دونوں آخری حدیں بھی باقی رہتی ہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "پڑھے ہوئے مصادر میں ثابت انتقال متنی ہے: کرجی کے کام سے الباہر میں سموأل کا بیان، نہ کہ ہر مخطوطے کی تاریخ وار منزلوں کا نقشہ {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ انبوبا کہتے ہیں کہ عربی الجبرا پر الباہر کے اثر کا تعین مشکل ہے، کاشی کی مفتاح الحساب پر بالواسطہ اور محدود اثر تجویز کرتے ہیں، اور کتاب کو مغرب میں بظاہر نامعلوم کہتے ہیں {cite:samawal-dsb algebra}۔ یہ مؤرخ کی تعبیرات ہیں، متحف کی طرف سے ہر ممکن انتقال کے نہ ہونے کا ثبوت نہیں {cite:samawal-dsb algebra}۔ سموأل کے عراق، شام اور دوسرے علاقوں کے سفر بھی اس جدول کا مصدقہ راستہ نہیں بنا دیے گئے، کیونکہ سوانح ہر سفر کو الباہر کے کسی نسخے سے نہیں جوڑتی {cite:samawal-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "عملی بنیاد [[concept/algebra|الجبرا]] میں حدوں کا ضرب اور ہم جنس حدوں کا جمع ہے، جسے کرجی کی سوانح مرکب مقداروں کے حساب میں بیان کرتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ضرب ضریب کا معنی واضح کرتی ہے، جب کہ تکراری قاعدہ اگلے ضریب نکالتا ہے؛ یہ پورے جبری کارنامے کے دو بدل نام نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مفہومی خاکے میں کرجی کا عمومی حساب اور پہلے الجبرا کا سیاق، پھر خاص قاعدہ، پھر الباہر کا شاہد آتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-mactutor Biography}۔ ہندوستانی روایت کو گھڑی ہوئی سببی زنجیر میں نہیں رکھا: وہ اوپر تاریخی موازنے میں اپنی شہادت کی واضح حد کے ساتھ ہے {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "سب سے قریب ثابت بعد کا استعمال سموأل کا اس بیان کو اپنے عملیات، مساوات اور مجموعوں کے وسیع بحث میں شامل کرنا ہے {cite:samawal-mactutor Biography}۔ چین کے لیے میک ٹیوٹر جیا شیان کی جدول بیان کرتا ہے جو یانگ ہوئی کی1261 کی وضاحت سے معلوم ہے؛ اس میں چھٹی قوت کی صف اور ہر مقام کے اوپر والے دونوں اعداد کا جمع شامل ہے {cite:jia-xian-mactutor Biography}۔ یہ ملتا جلتا کام ہے، کرجی سے لینے کا ثابت شدہ تابع نہیں {cite:jia-xian-mactutor Biography} {cite:karaji-mactutor Biography}۔ پاسکال کی سوانح ان کے مثلث والے کام کو والیس کے ذریعے نیوٹن کی منفی اور کسری قوتوں کی توسیع سے جوڑتی ہے؛ پڑھے ہوئے حصے میں بغداد سے اس یورپی تحقیق تک کوئی راستہ نہیں {cite:pascal-mactutor Biography}۔ اسی لیے بعد کی توسیع اس اندراج کی محدود قوتوں سے الگ رہتی ہے۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "جو اثر اعتماد سے بیان کرسکتے ہیں وہ حساب کرنے والے اور سیکھنے والے کے کام میں ہے: الگ الگ جوابات کی فہرست دینے کے بجائے متجاور اعداد جمع کرکے اگلی قوت کے ضریب بنانا اور انہیں ضرب سے جوڑنا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ میک ٹیوٹر وضاحت کو پانچویں قوت تک لے جاتا ہے، اس لیے قاری نمونہ خود آگے بڑھا سکتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ پڑھے ہوئے مصادر اس قاعدے سے کام کے گھنٹوں یا بازار کے اخراجات میں کمی نہیں ناپتے، نہ اسے ہر تاجر کا روزانہ استعمال ثابت کرتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ حساب کے عام فوائد اس خاص طریقے سے بلا شہادت نہیں جوڑنے چاہییں، نہ بعد کے ریاضیاتی استعمال بغداد کے لوگوں کی طرف لوٹانے چاہییں۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "سموأل کی تحریر ایک گم شدہ اصل حساب کا مواد محفوظ کرتی ہے؛ تاریخی اہمیت صرف شکل کے باقی رہنے کی نہیں، اس کی نسبت اور بنانے کے بیان کے محفوظ رہنے کی بھی ہے {cite:samawal-dsb algebra} {cite:karaji-mactutor Biography}۔ میک ٹیوٹر ایک حالت سے اگلی تک متواتر دلیل کو استقرائی برہان سمجھنے کی اہم پیش رفت کہتا ہے، مگر اسے مکمل جدید اصول استقرا کے برابر نہیں کرتا {cite:karaji-mactutor Biography}۔1،3،3،1 کے اعداد جاننا اور اگلی قوتیں بنانے کے طریقے کا ضرب سے تعلق سمجھانا اس لیے دو مختلف باتیں ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ہم نہیں کہتے کہ اس کے بغیر یورپ یا جدید ریاضی ترقی نہ کرتے؛ یہ خلاف واقع امکان دکھائے ہوئے مصادر سے ثابت نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**متحف کا سنی فریم:** ہم واضح شہادت رکھنے والے مسلمان شریک کو پیش کرتے ہیں، سابقین اور نسبت کی حدود محفوظ رکھتے ہیں، اور کسی مذہبی مسلک سے یہ فنی فیصلہ منسوب نہیں کرتے کہ مثلث یہاں شروع ہوا {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations}۔ کرجی کی ثابت مسلمان شناخت اکیلی ذاتی مسلک ثابت نہیں کرتی، اور ان کی شخصیت کے اندراج میں یہ فرق برقرار ہے {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔\n\n**علمی مطالعہ:** میک ٹیوٹر میں واسطے سے آیا ہوا ترجمہ سموأل کی گواہی کے ذریعے عمومی تعمیر کرجی سے منسوب کرتا ہے، جب کہ انبوبا اصل حساب کا گم ہونا بتاتے ہیں؛ اس صفحے پر اصل عربی متن یا الباہر کی طباعت کی آزاد براہ راست قراءت کا دعویٰ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ پہلے ہندوستانی شواہد دو رکنی ضریب کی پوری تاریخ کرجی کو دینے سے روکتے ہیں، جیسے پاسکال کی سوانح صاف کہتی ہے کہ پاسکال نے مثلث پہلے نہیں پڑھا تھا {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:pascal-mactutor Biography}۔ زیادہ دقیق سوال یہ نہیں کہ کون سا نام باقی سب کو مٹاتا ہے، بلکہ یہ ہے کہ کون سا شاہد کس مصنف سے کون سا طریقہ منسوب کرتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "آج قاری غیر منفی صحیح قوتوں کے ضریب کی جدول میں قاعدہ دیکھ سکتا ہے، جس کی پہلی تنہا ایک والی صف جدید پیش کش میں صفر کی قوت ظاہر کرتی ہے {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔ اس تدریسی صف اور اس کی رمزی تعریف کو سوانح میں نقل شدہ کرجی کی عبارت کی طرف نہیں کیا گیا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جدید تصویر اور تاریخی شاہد کو الگ رکھنے سے ریاضیاتی طور پر صحیح صفوں کا موازنہ ہوسکتا ہے، بغیر عدد کی صحت کو دستاویز کی اصالت سمجھنے کے {cite:commons-pascal-triangle-five description} {cite:samawal-dsb algebra}۔ کسری اور منفی قوتیں پاسکال کی سوانح میں نیوٹن کے حوالے سے بیان کردہ وسیع ترقی میں آتی ہیں، گم شدہ کتاب میں ان سب نتائج کے موجود ہونے کا دعویٰ نہیں {cite:pascal-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "اس نسبت کا بنیادی متنی شاہد الباہر ہے، جب کہ سوانح کہتی ہیں کہ کرجی کا اصل حساب گم ہے {cite:samawal-mactutor Biography} {cite:samawal-dsb algebra}۔ انبوبا کی کتابیات استنبول کے نسخے، جن میں آیا صوفیہ2718 اور اسعد افندی3155، اور احمد و راشد کی جدید طباعت درج کرتی ہے؛ ہم نے ان مخطوطوں کی تصاویر یا موجودہ فہرستیں نہیں دیکھیں {cite:samawal-dsb bibliography}۔ مقالہ خود طباعت کا سال ایک جگہ1972 اور دوسری جگہ1971 دیتا ہے؛ یہ اختلاف اندازے سے خاموشی میں حل نہیں کیا گیا {cite:samawal-dsb bibliography}۔ سامنے کی تصویر کونراد ارون کا درینی کے کام سے بنا جدید خاکہ ہے، جس کا کامنز اندراج2007 بتاتا ہے، الباہر کے کسی نسخے کا ورق نہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "جدید ریاضیاتی سوانح میں «پاسکال کا مثلث» مانوس نام ہے، مگر اس کا مطلب یہ نہیں کہ پاسکال سے پہلے مثلث نامعلوم تھا؛ میک ٹیوٹر صراحت سے اس کے خلاف کہتا ہے {cite:pascal-mactutor Biography}۔ کرجی کی جدول اور جیا شیان کے کام کا موازنہ دکھاتا ہے کہ دور دراز کے الگ نام اسی مشترک حسابی ترتیب کے مختلف کام محفوظ کرسکتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:jia-xian-mactutor Biography}۔ کسی خاص فلم، ڈاک ٹکٹ یا نام زد نصابی کتاب میں اس کے دکھائی دینے کا دعویٰ یہاں نہیں، کیونکہ استعمال شدہ مصادر ایسا متعین شاہد نہیں دیتے۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "کاغذ پر1،2،1 لکھیں اور نئی صف کے دونوں سروں پر ایک رکھیں؛ درمیان میں1+2 پھر2+1 جمع کرکے1،3،3،1 بنائیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جدید مثال میں یہ اعداد بتاتے ہیں کہ دو حصوں کے مجموعے کو تین بار ضرب دینے کے نتائج کیسے جمع ہوتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ حصے2 اور3 منتخب کریں تو8+36+54+27 یعنی125 بنتا ہے، جو5×5×5 کے برابر ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مثال کے اعداد ہمارا تدریسی انتخاب ہیں، جب کہ جمع کا قاعدہ سموأل کرجی سے منسوب کرتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ تصویر دیکھ کر یاد رکھیں کہ یہ چھ صفوں کا جدید خاکہ ہے، عالم یا ان کے مخطوطے کی تصویر نہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔ کیا آپ ہر حد کی ضرب کیے بغیر اگلی صف بنا سکتے ہیں؟"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- [[source/karaji-mactutor|میک ٹیوٹر: کرجی]]، سوانح اور سموأل کے ذریعے منقول بیان {cite:karaji-mactutor Biography}۔\n- [[source/samawal-mactutor|میک ٹیوٹر: سموأل]]، الباہر اور مذہبی ترتیب {cite:samawal-mactutor Biography}۔\n- [[source/samawal-dsb|انبوبا: علمی سوانح کا معجم]]، الجبرا اور کتابیات {cite:samawal-dsb algebra} {cite:samawal-dsb bibliography}۔\n- [[source/jaina-mathematics-mactutor|جین ریاضی]] اور [[source/jia-xian-mactutor|جیا شیان]]، موازنے کے شواہد، براہ راست انتقال نہیں {cite:jaina-mathematics-mactutor combinations} {cite:jia-xian-mactutor Biography}۔\n- [[source/pascal-mactutor|پاسکال]]، مثلث اور وسیع قوتیں {cite:pascal-mactutor Biography}۔\n- [[source/tdv-kereci|ٹی ڈی وی کی کرجی سوانح]]277–278 اور [[source/karaji-ataie-simmons-2020|محکم مطالعہ]]762، سیاق اور شناخت {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔\n- [[source/commons-pascal-triangle-five|تصویر کا اندراج]]، ماخذ اور اجازت، علمی تاریخ نہیں {cite:commons-pascal-triangle-five description}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "github-copilot"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "github-copilot",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b98",
     "source": "براہ راست پڑھے ہوئے متعین مصادر سے عربی متن کا ترجمہ؛ رمزی مثالیں جدید تدریسی تشکیل ہیں، مخطوط کی نقل نہیں۔"
    }
   },
   "updated": "2026-11-07"
  }
 },
 "degree": 8,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-07",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-karaji",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Adjacent-addition coefficient rule attributed by al-Samawal's surviving al-Bahir witness; lost original, finite powers, no global triangle priority or modern induction claim.",
   "sources": [
    "source/karaji-ataie-simmons-2020",
    "source/karaji-mactutor",
    "source/samawal-dsb",
    "source/samawal-mactutor"
   ]
  },
  {
   "to": "person/al-samawal-al-maghribi",
   "type": "transmitted_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "transmitter",
   "note": "Al-Bahir preserves Karaji's attributed coefficient rule; not an additional qualifying Sunni inventor. Youthful composition precedes reported1163 conversion, later revisions possible.",
   "sources": [
    "source/samawal-dsb",
    "source/samawal-mactutor"
   ]
  },
  {
   "to": "work/al-bahir-fi-al-jabr",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "describes",
   "sources": [
    "source/commons-pascal-triangle-five",
    "source/jaina-mathematics-mactutor",
    "source/jia-xian-mactutor",
    "source/karaji-ataie-simmons-2020",
    "source/karaji-mactutor",
    "source/pascal-mactutor",
    "source/samawal-dsb",
    "source/samawal-mactutor",
    "source/tdv-kereci"
   ]
  },
  {
   "to": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
   "type": "built_on",
   "inverse": false,
   "derived": true,
   "note": "Operational background: multiplying and collecting algebraic expressions. This record isolates the reusable coefficient recurrence rather than recounting all those operations.",
   "sources": [
    "source/karaji-mactutor"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
  "person/al-karaji",
  "concept/algebra",
  "invention/algebra",
  "invention/karaji-qanat-surveying",
  "person/fibonacci",
  "place/baghdad",
  "place/maghreb"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}